¿Es el mapa $x\mapsto m(E\cap(E+x))$ ¿Continuo?

Question

$m$ es la medida de Lebesgue y $E$ es cualquier conjunto medible de Lebesgue. Se demuestra aquí que $f(x)=m(E\cap(E+x))$ es continua en $0$ (aunque $m(E)=\infty$ , $\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)$ ).

Se trata del ejercicio 3.4.16(ii) de "A Course on Borel Sets" de Srivastava. La pista que se da es utilizar el teorema de la clase monótona.

Si $E=\bigcup_0^{\infty}[2n,2n+1]$ o $E=[0,2]\cup\bigcup_1^{\infty}[2n+1,2n+2]$ entonces el rango de $f$ es $\{0,\infty\}$ , $\{1,\infty\}$ respectivamente.

Suponiendo además que $m(E)<\infty$ ¿cómo se demuestra, utilizando el teorema de la clase monótona, que $f$ ¿es continua?

Answer 1

Esta es mi suposición (y debe tomarse como un comentario, y no como una solución) :

1. Pruébelo cuando $E = (a,b)$ es un intervalo abierto acotado. En ese caso, $f(x) = b-a-|x|$ .

2. Si $E_1\subset E_2\subset \ldots$ y $E = \cup E_n$ entonces la correspondiente secuencia de funciones $\{f_i\}$ es creciente, y cada $f_i$ es continua. Quieres concluir que la función límite también es continua.

   Al intersecarse con $[-n,n]$ para un tamaño suficientemente grande $n$ tal vez se pueda suponer que la convergencia se produce dentro de un conjunto compacto. Entonces, por el teorema de Dini, la convergencia es uniforme.

3. Haga lo mismo para $E_1\supset E_2\supset \ldots$ .

Ahora se ve que la colección de conjuntos $E$ para la que la función correspondiente es continua forma una clase monótona. Por el teorema de la clase monótona, debe ser una clase $\sigma$ -y, por tanto, debe contener todos los conjuntos de Borel.

A partir de aquí, quizás puedas utilizar la regularidad de la medida para concluir esto para todos los conjuntos medibles $E$ .

Probablemente haya mil errores en lo que acabo de decir, pero espero que sea un buen punto de partida.