Resolver

Question

Yo estaba resolviendo una convergencia de una serie y este límite aparecido:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{e^nn!}$$

Necesitaba este límite $0$ y es de hecho (según WolframAlpha), pero yo no veo cómo obtener el resultado.

Answer 1

Desde $n! \sim \sqrt{2\pi n} (n/e)^n$ por la aproximación de Stirling, tenemos

$$\frac{n^n}{e^nn!} = \frac{(n/e)^n}{n!} \sim \frac{(n/e)^n}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \to 0.$$

Answer 2

Casi tan bueno: escribir la expresión como $$ L = e ^ {\log n n - n - \log n!} = e ^ {\log n n -n-\sum_{k=1}^{n} \log k} $$ y los límites en la suma: $$ \int_{1}^{n} \log x dx < \sum_{k=1}^{n} \log k < \int_{1}^{n+1} \log x dx $$ para obtener el mismo resultado sin Stirling.

Answer 3

La relación de dos valores consecutivos es $$ \left.\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}(n+1)!}\middle/\frac{n^n}{e^nn!}\right.=\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e}\tag{1} $$ Tomando el registro de $(1)$ da $$ n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right)-1 =-\frac1{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right)\etiqueta{2} $$ Desde $$ \int_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}x}{x}\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le1+\int_1^n\frac{\mathrm{d}x}{x}\etiqueta{3} $$ tenemos $$ \sum_{k=1}^n\frac1k=\log(n)+O(1)\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, sumando las $(2)$ $(4)$ rendimientos $$ \log\left(\frac{n^n}{e^nn!}\right)=-\frac12\log(n)+O(1)\etiqueta{5} $$ Por lo tanto, hemos $$ \frac{n^n}{e^nn!}\le\frac{c}{\sqrt{n}}\etiqueta{6} $$ El límite buscado es por lo tanto, $0$.

Answer 4

Considerar que: $$\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right) = n, $ $ por lo tanto: $$ n! = \prod_{m=2}^{n} m = \prod_{m=2}^{n}\prod_{k=1}^{m-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{n-k}=\frac{n^n}{\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}$ $ y: $$\frac{n^n}{n!}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}.\tag{1}$ $ desde la secuencia definida por: aumenta hacia $$ a_k = \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+\frac{1}{3}} $ $e$ $, de $(1)$ sigue que: $$ \frac{n^{n+\frac{1}{3}}}{n!}=\prod_{k=1}^{n-1} a_k \leq e^{n-1}\tag{2} $ $ por lo tanto: $$ \frac{n^n}{n!e^n}\leq\frac{1}{e\sqrt[3]{n}},\tag{3}$ $ demostrando nuestra reclamación.