¿Si $f(x)$ es una función integrable, podemos siempre encontrar su anti-derivado mediante los métodos ordinarios de integración?

Question

Supongamos que tenemos una función integrable $f(x)$ que se expresa en términos de funciones elementales. Por integrable, me refiero a que nos podemos encontrar en su anti-derivada en términos de funciones elementales, y por elemental de la función me refiero a una función de una variable construida a partir de un número finito de exponenciales, logaritmos, polinomios, trigs, la recíproca de trigs y raíces de otras primaria de la función a través de la composición y las combinaciones de las cuatro operaciones elementales ($+, -, \times, \div$). Por lo $\sqrt{\sin(x)}$ en esta definición elemental de la función.

Es necesariamente cierto que podemos calcular su integral (anti-derivativo) usando integración por partes, fracciones parciales, sustituciones, trigonométricas y hiperbólico sustituciones?

Por supuesto que hay funciones cuyas anti-derivados que no podemos encontrar en términos de funciones elementales (por ejemplo, $f(x)= \frac{\sin(x)}{x}$ o $f(x)=e^x \ln(x)$), pero mi pregunta es acerca de aquellos para los que podemos encontrar sus anti-derivada en términos de funciones elementales.

La razón detrás de la especificación de todos los métodos es que esos métodos se enseña en cada clase de cálculo cuando el instructor hablar de métodos de integración (también, otra razón es que, para encontrar la derivada de cualquier función puede ser calculado utilizando la inversa de los métodos de integración, como el producto de la regla o la regla de la cadena - excepto cociente regla!)

Mi propia conjetura es: Supongamos que $A$ es el conjunto de funciones de $F(x)$ cuyos derivados se calcula mediante el cociente de la regla en algún nivel, y $D$ es el conjunto de los derivados de las funciones de $A$ , entonces, por definición, todas las funciones en $D$ son integrables, pero existe una función en $D$ que no pueden ser integrados se usan los métodos de integración (recuerde, esto es sólo una suposición!) .

Answer 1

Si $f(x)$ es una función que se sabe que tiene antiderivada $F(x) = \int_a^x f(x) \, dx$, entonces la integral indefinida $\int f(x) \, dx$ puede ser simplificado mediante la sustitución de $u = F(x)$, $du = f(x) \, dx$.

Sé que no es realmente lo que estás buscando; pero yo soy sólo medio en broma. Sustituciones y trigonometría-sustituciones y similares, todos son sólo formas de "adivinar" la antiderivada. Por ejemplo, suponga que tiene una integral que resolver haciendo una serie de sustituciones. Entonces el método es siempre equivalente a simplemente hacer una única sustitución que sólo resuelve la totalidad de la cosa.

Si la antiderivada $F(x)$ se expresa en términos de funciones elementales, entonces cada problema de integración que los estudiantes pidan que hacer en los cursos de análisis matemático es una serie de pasos que se desenrolla que antiderivada de expresión según la cual funciones elementales están presentes, y de qué manera se componen. Que cualquiera de las "estándar" técnicas de integración se reduce a una integral a algo reconocible sólo puede ser debida a este proceso.

Answer 2

Creo que usted está preguntando acerca de la situación que es objeto de un clásico resultado de Liouville, que dispone de modernos exposiciones, entre ellas la mía. La situación básica es la siguiente: el concepto de "integración" que desea es "integrables por funciones elementales", donde una función primaria es obtenida a partir de los polinomios en varias ocasiones la aplicación:

• Reglas algebraicas (suma, multiplicación, de la inversión)
• Exponenciación y logaritmos
• La extracción de raíces (resolución de ecuaciones como $t^2 - f(x) = 0$ para la función de $t = t(x)$, o $t^5 - xt - f(x) = 0$, que no es expresable en términos de la normal de raíces).

Otras operaciones, tales como las funciones trigonométricas y sus inversas, puede ser reformulada en términos de estos con el uso inteligente de los números complejos; usted querrá leer el papel para que.

Este concepto nos lleva a la idea de una escuela primaria diferencial de campo, es decir, una colección de $K$ de funciones elementales cerrado bajo las operaciones algebraicas (el primer punto arriba) y la diferenciación. La idea es que el $K$ encarna un "tipo" o "forma" de primaria de la función, por ejemplo, las funciones en las que la expresión de $e^{x^2}$ se le permite aparecer. Se puede entonces hablar de la primaria "extensiones" al permitir que las reglas anteriores se aplican a $K$, por ejemplo, añadiendo $\sqrt{1 + e^{x^2}}$. (Incluso se podría iniciar con un no-elemental campo, como un campo que contenga $f(x) = \int e^{x^2} \, dx$, y añadir en $\sqrt{f(x)}$, y que sería de una escuela primaria de la extensión de la misma.) Diferencial de campos en realidad no tiene que contener funciones (esto se discute en el papel demasiado), pero voy a usar el $f(x)$ la notación, a pesar de que hacer.

Hay una gran teorema, que Liouville demostró hace casi doscientos años:

Teorema: Vamos a $K$ ser un diferencial de campo; a continuación, una función de $f(x) \in K$ es integrable en una escuela primaria de la extensión de $K$ si y sólo si $f(x)$ es la suma de

• fracciones $u'(x)/u(x)$ por diversos elementos $u(x) \in K$;
• un derivado $v'(x)$ algunos $v(x) \in K$.

Las fracciones $u'(x)/u(x)$ son logarítmicas derivados, cuya integrales son de curso $\ln u(x)$ (que son funciones elementales sobre $K$). Normalmente, se llega a expresiones como esta en un problema de integración mediante el uso de fracciones parciales.

La expresión $v'(x)$ parece hacer trampa: parece estar diciendo "$f(x)$ tiene una integral si $f(x)$ tiene una integral", pero es un poco más: esta es la parte de la integral que se parece a $f(x)$. Este plazo, usted puede integrar solo por el hecho de la sustitución de $v = v(x)$, de representación de $\int v'(x) \,dx = \int dv = v$. En otras palabras, esta es la parte que se puede integrar el uso de la regla de la cadena sin llegar a ser demasiado creativo.

Así que tengo que interpretar este teorema como diciendo que usted puede hacer cualquier elementales de la integral utilizando sólo:

• Fracciones parciales
• Sustitución
• Simple álgebra de averiguar qué partes requieren que.

Por supuesto, la tercera parte es realmente la de requerir algo de inteligencia.

Edit: siento que debo decir que las diversas muy inteligente sustituciones trigonométricas parecen, pero no quedan fuera de esta clasificación. La razón es, nuevamente, la complejidad de los números de truco, con el que se puede reescribir en términos de exponenciales, y sus inversas, en términos de logaritmos. Si usted insiste en quedarse con los números reales solamente, entonces usted tiene que compensar la pérdida de algebraica de energía con un aumento en la sofisticación de sus sustituciones.