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cerca de exponentes de números racionales enteros

No estoy seguro de cómo usted puede probar que el caso base para la respuesta a esta pregunta. El caso base de los estados:

Lema. Si $x \ge 1$ es un número racional y $\alpha\ne 0$ es un número real tal que $\lim_{n\to\infty}\alpha x^n-m_n=0$ donde$m_n\in\mathbb{N},$$x\in\mathbb{Z}$.

¿También si $x$ puede ser real en lugar de racional?

Algunos intentos: He pensado sobre la crianza de los $m_n$ a algunos de potencia $p$ y, a continuación, hacer lo contrario por elevación al poder $1/p$ lo que da una mayor atado alrededor de $m_n$, pero esto no parece funcionar ya que puede haber un montón de números enteros, además de a $m_n^p$ dentro de los límites.

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Adam Malter Puntos 96

He aquí una prueba asumiendo $x$ es racional. Escribir $x=\frac{a}{b}$ $a,b\in\mathbb{N}$ en términos mínimos. Elija $\epsilon>0$ tal que $x\epsilon<\frac{1}{2b}$ $\epsilon<\frac{1}{2b}$ (en realidad, el último es automático desde $x\geq 1$). Elija $N$ tal que $|\alpha x^n-m_n|<\epsilon$ todos los $n\geq N$ que $m_N\neq 0$ (el último es posible debido a que $x\geq 1$$\alpha\neq 0$). En particular, para cualquier $n\geq N$, podemos escribir $$\alpha x^n=m_n+\delta$$ where $|\delta|<\epsilon$ ($\delta$ depends on $n$). Multiplying by $x$, we get $$\alpha x^{n+1}=xm_n+\delta x.$$ Note that $xm_n$ is a rational number with denominator $b$, and $|\delta x|<\frac{1}{2b}$. If $xm_n$ were not an integer, then it would be at least $\frac{1}{b}$ away from an integer, and so $xm_n+\delta x$ would be at least $\frac{1}{2b}$ away from an integer. But by hypothesis, $\alpha x^{n+1}$ is within $\epsilon$ of $m_{n+1}$, and $\epsilon<\frac{1}{2b}$. Thus $xm_n$ must be an integer, and clearly in fact we must have $xm_n=m_{n+1}$.

Por lo tanto $xm_n=m_{n+1}$ todos los $n\geq N$. Pero esto significa $x^km_N=m_{N+k}$ es un número entero para todos los $k\in\mathbb{N}$. Esto implica $m_N$ es divisible por $b^k$ todos los $k$. Desde $m_N\neq 0$, esto sólo es posible si $b=1$, es decir, si $x$ es un número entero.

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bari Puntos 21

Aquí es una prueba para la declaración más general: http://artofproblemsolving.com/community/c6h4556p334225

Se da como un lema en la solución del problema 27 (sección 4.1) en ruso 1987 libro В.А.Садовничий, А.А.Григорьян, С.В.Конягин "Задачи студенческих математических олимпиад" ("Problemas de olimpiadas de matemática para los estudiantes de la universidad")

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