Demostrando la convergencia de $a_n = \frac{n}{n+\sqrt n}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que la secuencia de $\{x_n\}$ donde $x_n=\frac{n}{n+\sqrt n}$ es convergente, sin necesidad de utilizar el valor de a que $\{x_n\}$ converge?

EDITAR

Ok, esta es la forma en que procedió a probar esta convergencia basado en vanna la respuesta. Por favor, dime si me equivoco en cualquier lugar.

Primero voy a mostrar que la sucesión es creciente $$x_n -x_m = \frac{\sqrt n -\sqrt m}{\sqrt{mn} +\sqrt m + \sqrt n + 1} \gt 0 \qquad\forall n\gt m$$

Ahora voy a mostrar que es limitado $$n\lt n+\sqrt n \implies x_n \lt 1 \quad\forall n \in \mathbb{N} $$

Por los Menos el límite Superior de la Propiedad existe un Mínimo de límite Superior $L$ para la secuencia de $\{x_n\}$ ya que es acotada.

Dado que la L es la menor cota superior,

$$\exists x_k \in \{x_n\} \mid x_k \in (L-\epsilon, L] \; \;\forall \epsilon \gt 0\;$$ o de lo contrario existe otro número $$L-\frac{\epsilon }{2}$$ tal que $$\forall k \in \mathbb{N} \quad x_k\le L-\frac {\epsilon }{2}$$ pero esta es la contradicción como $L$ es la menor cota superior de.

Por lo tanto $$\quad \forall \epsilon \gt 0 \quad\exists k \in \mathbb{N}\; \; \mid x_k \in (L-\epsilon, L]$$

Ahora desde $\{ x_n\} $ es monótonamente creciente de la secuencia y delimitado por la $L$ , $$\;\forall i \ge k \;,x_i \in (L-\epsilon, L]$$ Por lo tanto $$\forall \epsilon\ge 0, \; \exists k\in \mathbb{N} \; \mid \; |x_i-L| \lt \epsilon$$ Y por lo tanto hemos demostrado que la serie converge y converge a Menos de límite Superior.

RE-EDICIÓN

¿Hay alguna manera de que pueda probar que es convergente por primera demostrando que es de Cauchy de la secuencia.

Answer 1

Muestran que es creciente y acotada.

Para mostrar que está aumentando, estudiar la función $$x \mapsto \frac{x}{x+\sqrt{x}} = \frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$ $ fronteridad es trivial desde $n \le n + \sqrt{n}$.

Answer 2

Si no desea mostrar que $1$ es el límite, pero sólo que existe, entonces se puede demostrar que es una secuencia de Cauchy.

Aquí va. Asumir $m,n\in\mathbb{N}$ y WLOG $m \geq n$. Entonces

$a_m-a_n = \frac{m}{m+\sqrt{m}}-\frac{n}{n+\sqrt{n}} = \frac{n m + m\sqrt{n} - m n - n \sqrt{m}}{(m+\sqrt{m})(n+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{m n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{(m+\sqrt{m})(n+\sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{\sqrt{mn}(\sqrt{m}+1)(\sqrt{n}+1)}=\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{(\sqrt{m}+1)(\sqrt{n}+1)}$

Así $0 \leq a_m - a_n \leq \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+1} \frac{1}{\sqrt{n}+1}\leq \frac{1}{\sqrt{n}+1} < \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Supongamos que ahora te dan un $\varepsilon > 0$. Que $N=\lceil \frac{1}{\varepsilon^2}\rceil$. Si $n, m \geq N$ y WLOG $m \geq n$, entonces

$|a_m-a_n| = a_m-a_n < \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{N}} \leq \varepsilon$.