A partir de $\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}$ y la raíz cuadrada de toma: prueba $1=-1$

Question

En este blog post, RJ. Lipton menciona un ejemplo de matemática común trampas. En particular, `la raíz cuadrada no es una función". Él muestra la siguiente trampa:

Inicio con: $\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}$, luego tomar la raíz cuadrada de ambos lados: $$ \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} $$ por lo tanto $$ \frac{i}{1} = \frac{1}{i} \\ i^2=1 \enspace , $$ lo que se contradice con la definición de que la $i^2=-1$.

Pregunta 1: sé que la raíz cuadrada no es una función porque tiene varios valores, pero todavía no puedo envolver mi cabeza alrededor de este ejemplo. Dónde estaba el problema exactamente? Fue, es que nos

• no se pueden convertir en $\sqrt{1/-1}$$\sqrt{1}/\sqrt{-1}$?
• tanto en el lado derecho y el lado izquierdo se desordenada ?
• tanto?

Pregunta 2: ¿Asimismo, este problema sólo se presentan en las igualdades o, en general, manipulación algebraica? Porque sería una pesadilla a la hora de manipular una expresión con fracciones de poderes! Hay reglas fáciles para determinar lo que es seguro para hacer con fracciones de poderes? A ver lo que quiero decir, es otro ejemplo de una trampa similar:

Uno podría pensar fácilmente que $\sqrt[4]{16x^2y^7}$ es equivalente a $2x^{1/2}y^{7/4}$, lo cual no es cierto para$x=-1$$y=1$.

Answer 1

Sin entrar en análisis complejo, creo que esta es la manera más sencilla que puedo explicar esto. Deje $f(x) = \sqrt{x}$. Tenga en cuenta que el (la máxima) dominio de la $f$ es el conjunto de todos los números negativos. Y cómo se define? $f(x) = \sqrt{x}$ es igual a un valor no negativo $y$ tal que $y^2=x$. En este sentido, la raíz cuadrada es una función! Se llama el director de la raíz cuadrada.

En contraste, la siguiente correspondencia no es una función de: la relación $g$ toma en un valor de $x$ y devuelve un valor de $y$ tal que $y^2=x$. Por ejemplo, en $g$, 1 corresponde a dos valores, $1,-1$.

Ahora, la propiedad de la distribución de una raíz cuadrada de más de un producto sólo está probado que (al menos en precálculo) sobre el dominio de la plaza principal de la raíz, es decir, sólo por la falta de números negativos. Dado esto, no hay ninguna base para el paso

$$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}.$$

En cuanto a por qué esta propiedad no es cierto, la mejor explicación de por ahora es que debido a $-1$ no está en el dominio de la plaza principal de la raíz. Por lo tanto, $\sqrt{-1}$, en realidad, no tiene sentido, en cuanto a la definición de raíz cuadrada se refiere. En análisis complejo, más se puede decir. Como un comentarista menciona, esto tiene algo que ver con las ramas de los logaritmos.

Para tu segunda pregunta, creo que es seguro que usted siempre tenga en mente cuál es el dominio de la función es. Si se obtiene un número negativo dentro incluso de una raíz, entonces usted no puede distribuir el incluso raíz sobre productos o cocientes.

Answer 2

en análisis real

$$\sqrt{\frac{x}{y}}\ = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$$

solamente para $y,x>0$

Answer 3

El problema radica en la conversión de: $$\sqrt{\frac{x}{y}}\ \to \ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ $