Infimum de un conjunto

Question

Si $a$ es un número positivo, mostrar que $\inf \{a/n: n \in \mathbb{Z}^{+} \} = 0$.

Así que $A = \{a/n: n \in \mathbb{Z}^{+} \}$. Entonces $A$ está limitado por debajo por $0$. Por lo tanto existe $\alpha = \inf(A)$. Así $0 \leq \alpha$. Ahora, es un límite inferior de $\alpha \leq a/2n$ $2 \alpha$ lo que implica que el $A$. Así $2 \alpha \leq \alpha$. Esto sólo puede ser verdad si $\alpha \leq 0$. Por tricotomía, $\alpha = 0$.

¿Esto te parece correcto?

Answer 1

Su argumento parece muy bien para mí, sin embargo la redacción es un poco extraña. (Ver comentario de Arturo).

Aquí es una alternativa: (no es mejor ni peor, simplemente diferente)

Sabemos que $0\leq \alpha=\inf \{ a/n:\ n\in\mathbb{Z} \}$. Supongamos que $\alpha>0$. Luego elija $N\in\mathbb{Z}$ tan grandes que $\frac{a}{N}<\alpha$. Es decir, elegir $N>\frac{a}{\alpha}$. Entonces $\frac{a}{N}$ es en el conjunto, pero es más pequeño entonces $\alpha$. Por lo tanto, $\alpha>0$ es imposible, por lo que concluimos $\alpha =0 $.