Yo entiendo que lo que las ecuaciones diferenciales son y lo que son útiles para. Son muy interesantes, pero no estoy muy seguro de lo que está pasando, cuando en realidad la solución de uno.
Esto es lo que estoy tratando de resolver:
$$\frac{dy}{dx} = 2y + 3$$
Hasta donde yo sé, esta es una de primer orden lineal de la ecuación diferencial ordinaria. Parece bastante simple.
El primer paso que me dicen que hacer es " separar las variables. Así que se multiplican ambos lados de la ecuación por $dx$ y luego dividir ambos lados por $2y + 3$ acabar con:
$$\frac{dy}{2y+3} = dx$$
Así que ahora tengo todos los de mi $y$ términos en uno de los lados, y todos los de mi $x$ términos en el otro.
El hecho de que no puede separarse de la $\frac{dy}{dx}$ parece un poco extraño para mí, pero me han dicho que es sensato y estoy dispuesto a creer que, por ahora, eso es una buena cosa que hacer.
Después de esto, me dicen que 'integrar ambos lados y estoy muestran el siguiente paso:
$$\int \frac{dy}{2y+3} = \int dx$$
Normalmente a la hora de integrar, quisiera denotar la integral de [integrando] con respecto a las $x$' utilizando la notación estándar:
$$\int [integrand]\ dx$$
En definitiva la integración, la $\int$ representa una infinita suma, y el $dx$ representa, como de costumbre, un cambio muy pequeño en $x$ que se multiplica por el valor de la función en ese punto, en fin, como $dx$ se aproxima a cero, se genera el valor exacto del área bajo la curva.
Por ahora solo voy a aceptar que también escribe en esto de la moda cuando se hace indefinida de integración. Sin embargo, el segundo paso en la solución DE la DE me confunde porque no parece seguir esta notación.
Si desea integrar ambos lados, entonces eso significa que debe ser la integración de la $dx$ en el lado derecho. Si esto es cierto, entonces yo normalmente escribo como $\int dx\ dx$, porque es la integral de la $dx$ con respecto al $x$. Sin embargo, en la solución simplemente muestra $\int dx$ como si hemos perdido el dx que nos habría puesto en la notación.
El otro lado de la ecuación también no tiene un $dy$ al final, como yo se lo espera.
Mi pregunta real es: ¿Qué hacen los $dx$ $dy$ representan en sus el propios? Entiendo que $\frac{dy}{dx}$ representa la derivada de la $y$ con respecto al $x$, y que representa una instantánea de la tasa de cambio, porque es, esencialmente, lo que representa un infinitesimalmente pequeño cambio en $y$, dividido por un infinitesimalmente pequeño cambio en $x$ (el gradiente en un punto).
Sin embargo, cuando veo algo como $dx$ por su propia cuenta, no estoy seguro de cuál es el significado de es más. Es un infinitesimalmente pequeño cambio en $x$, ¿verdad? ¿Cómo podemos integrar? ¿Qué quiere decir? Quiero ser muy claro que no le estoy pidiendo a alguien para caminar a través de mí la solución, porque la Web está llena de ejemplos de resolución de estos tipos de ecuaciones. Yo estaría mucho más agradecido para un conceptual respuesta a mi pregunta.
Y como una pregunta más: ¿Cómo integrar ambos lados de una ecuación con respecto a diferentes variables de sentido? Seguramente los dos lados ya no sería igual.
