Una pregunta sobre dominios de Cohen-Kaplansky

Question

Deje $A$ ser un dominio. Recordemos que $A$ es Cohen-Kaplansky (o CK) si

(CK) cualquier valor distinto de cero nonunit de $A$ es un producto de elementos irreductibles, y sólo hay finitely elementos irreductibles a la multiplicación por unidades.

Considere la siguiente condición en $A$:

(RFFF) el campo de fracciones de $K$ $A$ es de anillo finito$A$, $K$ es un finitely generadas $A$-álgebra.

[RFFF significa "anillo finito campo de fracciones".]

Claramente, (CK) implica (RFFF).

Ingenuo Conjetura: (RFFF) implica (CK).

Pregunta: Es el Ingenuo Conjetura verdadera?

Muy fácil ver que (RFFF) es equivalente a

(RFFF') no es un elemento distinto de cero $a$ $A$ tal que, para cualquier $b$$A$, existe un entero positivo $n(b)$ tal que $b$ divide $a^{n(b)}$.

En particular, el Ingenuo Conjetura tiene por único de la factorización de dominios, y también para los dominios de Dedekind.

EDICIÓN de A. muchas Gracias a Hagen y Bill Dubuque por sus respuestas! Aquí está una actualización. A partir de ahora, después de Kaplansky, voy a llamar G-dominio de lo que he llamado RFFF-dominio de arriba.

$(1)$ Aquí es como yo lo entiendo una parte de Hagen respuesta: Bourbaki, Algèbre Conmutativa, VI.$6.3$, ofrece el siguiente ejemplo de un G-dominio, que no es un CK-dominio. Existe un campo de $K$ y un surjective multiplicativo monoid de morfismos $x\mapsto|x|$ $K$ a $\mathbb Q_{\ge0}$ satisfactorio $$ |x|=0\iff x=0,\quad|x+y|\le\max(|x|,|y|), $$ tal que la bola cerrada de radio uno es un dominio local $A$ con ideal maximal $\mathfrak m$ igual a la bola abierta de radio uno, los ideales de $A$ siendo el cerrado de las bolas de radio $r$ $0\le r\le1$ y el abierto de bolas de radio $r$$0 < r\le1$, y el grupo de $A^\times$ de las unidades de $A$ la esfera de radio uno. En particular, $0$ $\mathfrak m$ son sólo el primer ideales. Por lo tanto, cualquier valor distinto de cero $a$ $\mathfrak m$ satisface $A[a^{-1}]=K$, lo $A$ es un G-dominio. El grupo $K^\times/A^\times$, siendo isomorfo a $\mathbb Q_{ > 0}$, no es finitely generado, que es $A$ es no un CK-dominio.

$(2)$ En el artículo

Anillos con un número finito de números primos, I. S. Cohen y Irving Kaplansky, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. $60$ ($1946$), $468$-$477$,

está demostrado que la CK-dominios son noetherian (Teorema $6$ p. $471$).

$(3)$ Recordar de Bill Dubuque la respuesta de que un dominio $A$ es un noetherian G-dominios, si y sólo si $A$ tiene sólo un número finito de cero el primer ideales, todos de los cuales son máximas.

$(4)$ La principal cuestión que permanece abierta (al menos para mí) es este:

Hay un noetherian G-dominio, que es no un CK-dominio?

Que es:

Hay un noetherian dominio $A$ tal que

$\bullet\ A$ tiene sólo un número finito de cero el primer ideales, todos de los cuales son máximas,

$\bullet\ A$ tiene infinitamente muchos (asociación de las clases de) irreducibles?

Answer 1

El ingenuo conjetura no es cierto: por cada 1 dimensiones de valoración anillo de $A$ y cada elemento $x\in M\setminus 0$, $M$ el ideal maximal de a $A$, tenemos $A[1/x]=K$ porque $A[1/x]$ debe ser un anillo de valoración de menor dimensión que $A$ sí. No noetherian 1-dimensiones de valoración de anillo en el otro lado no tiene elementos irreductibles a todos.

Si se supone que el $A$ a ser noetherian e integralmente cerrado, luego por la Krull-Zariski-Goldmann teorema (http://cr.yp.to/zgk.html) tenemos $K=A[1/x]$ si $A$ satisface (RFFF). En consecuencia, $A$ tiene sólo un número finito de el primer ideales de la altura de la $1$. Por Krull Director de Ideal Teorema de hay infinidad de primer ideales entre los dos primeros ideal $p\subset q$, si no son cualquiera. Por lo tanto $A$ debe $1$-dimensional, que es un semi-local principal ideal de dominio.

Bill Dubuque ha atraído mi atención a algo que yo no era consciente de apagado: es decir, que si una valoración de dominio $A$ tiene un mínimo de cero el primer ideal, entonces $K=A[1/x]$, $K$ la fracción de campo, para cada $x\neq 0$ en el mínimo no-cero prime. Prueba: $A[1/x]$ es una localización de $A$ $x$ es una unidad en ella. Por lo tanto todo el primer ideales de $A$ con la excepción de $0$ son asesinados en $A[1/x]$.

Hay un noetherian G-dominio, que no es de CK ?

Respuesta: Sí.

En el artículo D. D. ANDERSON, J. L. MOTT, Cohen-Kaplansky Dominios: Integral Dominios con un Número Finito de Elementos Irreductibles, DIARIO DE ÁLGEBRA 148, 17-41 (1992) se muestra (Teorema 2.4) que las siguientes propiedades son equivalentes:

1. $A$ es una de CK-dominio.
2. La integral de cierre de $\overline{A}$ $1$- dimensiones semi-local principal ideal de dominio, por cada director de ideal maximal $M$ $A$ el campo $A/M$ es finito, $\overline{A}$ es finita $A$-módulo y el número de máximos ideales de $A$ $\overline{A}$ coinciden.

Ejemplo: supongamos $K$ ser un campo finito con $1+1\neq 0$. Deje $K[x,y]:=K[X,Y]/(Y^2-X^2(X+1))$$A:=K[x,y]_{(x,y)}$. A continuación, $A$ $1$- dimensional, locales, noetherian, por lo tanto $\overline{A}$ $1$- dimensiones semi-local principal ideal de dominio.

La integral de cierre de $K[x,y]$ es igual al polinomio anillo de $K[y/x]$, debido a $(\frac{y}{x})^2=x+1$$x,y\in K[y/x]$. Llegamos $\overline{A}=(A\setminus (x,y))^{-1})K[y/x]$; en particular, $\overline{A}$ es finita $A$-módulo. Por otra parte $A/M=K$ es finito.

El primer ideales generados por $\frac{y}{x}-1$ $\frac{y}{x}+1$ mentira más de $(x,y)$. Tenga en cuenta que los dos elementos no están asociados en $K[y/x]$, por lo que generan las distintas primer ideales. Por lo tanto $\overline{A}$ debe tener al menos $2$ máxima ideales (de hecho tiene exactamente $2$). En consecuencia, $A$ no es un CK-dominio, pero, por supuesto, un noetherian G-dominio.

Comentario: yo no era capaz de explicitamente escribir infinitamente muchos no asociado irreducibles. Tal vez alguien más puede hacerlo. Los candidatos son los elementos $x+y^k$, que al menos son irreducibles.

Answer 2

Un menor involucrado ejemplo de un Noetherian G-dominio que no es una de CK-dominio:

Deje $\mathbb R$ $\mathbb C$ denotar los campos de reales y los números complejos, respectivamente, y considerar la posibilidad de $S = R + X\mathbb C[[X]]$ el anillo de poder de la serie sobre $\mathbb C$ real con los términos constantes. Dado que la única nonunits de $S$ son potencias de $X$ (con coeficientes de $\mathbb C$) es fácil ver que

(1) $X\mathbb C[[X]]$ es el ideal maximal de a $S$,

(2) $S$ es un G-dominio y el es $1$-dimensional.

La próxima nota de que $X\mathbb C[[X]] = XS+iXS$ donde $i$ es el número imaginario. Por lo $S$ es Noetherian. Ahora una de CK-dominio es atómico de dominio que contiene sólo un número finito de elementos irreductibles a los asociados. Pero $S$ tiene infinitamente muchos no asociada a los átomos: $(r + i)X$ donde $r$ rangos de números reales. (Esta es una versión simplificada de lo que sigue del Corolario 3.6 de [AM]. )

Ya se ha establecido, en una bastante simple moda, aquí que hay no Noetherian G-dominios y así (RFF) no implica CK. Pero un ejemplo atribuida a Bill Dubuque tipo de atrajeron mi atención. El ejemplo es el siguiente: Si una valoración de dominio $V$ tiene un valor distinto de cero mínima prime ideal $P$ $V[1/x] =qf(V)$ para todos los distinto de cero $x\in P$. Tengo la siguiente observación. (Por cierto, ¿dónde está Bill Dubuque? Se ha Ido?)

Observación: Vamos a $D$ ser un dominio con un mínimo distinto de cero el primer ideal $P$, que es comparable con el de cada uno de los principales ideales de $D$, $D$ es un G-dominio.

Mientras se da el proyecto de Ley del ejemplo que ofrece ejemplos que pueden no ser fáciles de ver.

Ejemplo B: El anillo de $T= \mathbb Z+X\mathbb Q[[X]]$ G es un dominio con infinidad de máxima ideales.

Ejemplo C: El anillo de $\mathbb Z+X\mathbb R[[X]]$ G es un dominio con infinidad de máxima ideales.

Siguiente a la declaración en (3) de Editar Una parece un poco tengo la sensación de que "un dominio $A$ es un noetherian G-dominio si y sólo si $A$ tiene sólo un número finito de cero el primer ideales, todos de los cuales son máximas" que debe ser cambiado a "un noetherian dominio $A$ G es un dominio si y sólo si $A$ tiene sólo un número finito de cero el primer ideales, todos los cuales son máximas".

Ahora un poco sobre la historia cositas por Desaparecido (er proyecto de Ley, ¿cómo diablos voy a saber?). Si realmente mirar hacia arriba [AM] usted sabe que el siguiente paso lógico era [AAZ], el estudio de la atómica de los dominios con casi todos los átomos prime. Desafortunadamente no fue un gran error introducido en el documento, en un esfuerzo para obtener un mayor beneficio sin poner en dólares. El error fue capturado por Martine Picavet-L'Hermite en [MP]. Después de una masiva ignorando campaña apareció [CA] donde, el error es de su propiedad. Vayan mis condolencias a Martine, ella es una de las personas que vienen con algo notable y tiene a la cara en blanco caras de la confirmación de los genios.

[AAZ] D. D. Anderson, D. F. Anderson y M. Zafrullah, (1992). Atómica dominios en los que casi todos los átomos son los principales. Comm. Álgebra 20:1447-1462.

[AM] D. D. Anderson, J. Mott, (1992). Cohen–Kaplansky dominios: Integral dominios con un número finito de elementos irreductibles. J. Álgebra 148:17-41.

[CA] S. Chun y D. D. Anderson, Una clase de la atómica de los anillos, Comm. Álgebra 40(2012) 1086-1095.

[MP] Picavet-L'Hermitte, M. (2000). Factorización en Algunos de los Pedidos con un PID como parte Integral de El cierre, la Teoría Algebraica de números y Diophantine Análisis. Berlin: de Gruyter, p 365-390.

Answer 3

RFFF dominios son estudiados en Kaplansky la propiedad Conmutativa de los Anillos, donde son llamados G-dominios (honrar a los Oscar Goldman), en su resumen de tratamiento de Hilbert Nullstellensatz. Su estructura es fácilmente determinado en el Noetherian caso (1-dim semi-local), pero es mucho más complejo de lo contrario. De hecho, Kap, escribe en la página. 13:

Algunas de las observaciones preceden el desarrollo de la teoría de la G-dominios. Por supuesto, el campo es un G-dominio. Para obtener más ejemplos, nos examinar principal ideal dominios. Vemos inmediatamente que un director ideal dominio de G es un dominio si y sólo si tiene sólo un número finito de los números primos (hasta unidades).

Más tarde vamos a determinar exactamente qué Noetherian dominios son el G-dominios, la precisa condición de que sólo hay un número finito de cero el primer ideales, todos de los cuales son máximas. Para no Noetherian dominios de los hechos son más complejos, y parece que nos falta aún una conjetura razonable sobre la estructura de la general G-dominios. En cualquier caso, los ejemplos muestran que la Noetherian hechos no en todos generalizar. Es fácil exhibir una valoración de dominio que es un G-dominio pero sin embargo posee comparable distinto de cero el primer ideales. También (esto es más difícil) existe G-dominios en los que todo distinto de cero el primer ideales son de máxima y hay un número infinito de ellos.

Si la memoria sirve la correcta, no ha sido importante el trabajo realizado en la teoría de la estructura en la que no Noetherian caso desde Kap el libro fue publicado, pero no recuerdo los autores, en la parte superior de mi cabeza. Deben ser fáciles de localizar por perseguir a los enlaces a los documentos originales de Artin y Tate, Goldman, y Krull (cf. Kap del libro). Véase también el posterior trabajo con CK-dominios por D. Anderson y J. Mott.