Estoy teniendo un poco de un tiempo difícil entender lo que se pide-y por lo tanto tener un tiempo difícil responder a la pregunta:
Encontrar todos conjugados en $\mathbb{C}$ del número dado sobre el campo:
1) $\sqrt{2}$ $\mathbb{Q}$
2) $\sqrt{2}$ $\mathbb{R}$
...
4) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ $\mathbb{Q}$
...
7) $\sqrt{1 + \sqrt{2}}$ $\mathbb{Q}$
Ahora: Esto significa que, en el primer ejemplo, primero tengo que encontrar el monic irreductible polinomio de menor grado en $\mathbb{Q}$ tal que $\sqrt{2}$ es su cero, ¿verdad? Es correcto hacer esto diciendo: "sabemos $\text{deg}( \text{irr}(\sqrt{2}, \mathbb{Q})) = 2$, por lo que tiene la forma $x^2 + a_1x + a_2 = 0$ $a_i \in \mathbb{Q}$ cuando $x = \sqrt{2}$. $a_2$ debe ser $-2$ $a_1$ debe ser cero.
Tenemos el polinomio $x^2 - 2$, por lo que $\sqrt{2}, -\sqrt{2}$ son tanto los ceros, a la respuesta a esto es $\sqrt{2}, -\sqrt{2}$."
En el caso de$\sqrt{2}$$\mathbb{R}$, no es $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$-y no es cada polinomio irreductible en $\mathbb{R}$?
Para el tercer ejemplo, puedo seguir la misma idea que yo hice en la primera? En general, estoy bastante confundido acerca de cómo hacer estas. Creo que hay un montón de agujeros en mi entendimiento, me da lo que la pregunta está pidiendo para el, pero no estoy seguro de cómo se enfoque en encontrar una respuesta.
