Dadas $f: I \rightarrow \mathbb{R} $ diferenciable y $c \in I$, ¿hay $a,b \in I$ tal que $f(b) - f(a) = f '(c) (b - a)$?

Question

¿$f: I \rightarrow \mathbb{R} $ Diferenciable (donde $I$ es un intervalo) y $c \in I$, hay $a,b \in I$ tal que $f(b) - f(a) = f '(c) (b - a)$? Algo así como la inversa del teorema de valor medio. No estoy seguro si es cierto, pero siento que es. ¿Tal vez con algunas afirmaciones más fuerte? ¿También, si bien es cierto, puedo tomar los dos puntos que arbitrariamente cerca de c? Como en dado $c \in I$ y $\delta > 0$, ¿hay $a,b \in (c - \delta, c + \delta)$ tal que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$?

Answer 1

Supongo que quieres $a\ne b$, desde if $a=b$ y $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ % todos $c$.

La respuesta es no. Que $f(x)=x^3$. $f'(0)=0$ Y $a\ne b\implies f(b)-f(a)\ne0$.