Supongamos $M$ es un conjunto con un asociativa operador binario $+$ tal que para todos los $m \in M$ hay un único, $n$ tal que $m+n+m = m$ $n+m+n = n$ (pensamiento de $z_r=m+n$ obtenemos $z_r + m = m$$n+z_r = n$; el pensamiento de $z_l =n+m$ obtenemos $m+z_l = m$$z_l+n=n$), entonces usted tiene un estudiado objeto llamado "inversa semigroup".
El conjunto $Z$ desea que se llama el conjunto de idempotents, $Z = \{ m \in M : m + m = m \}$. También consta exactamente de todos los $m + (-m)$$m \in M$. Yo también les llamamos "parcial identidades", porque:
Hay un orden parcial $\leq$ en cada inversa semigroup: $x \leq y$ fib $x = x + (-x) + y$. Este vamos a expresar cómo cerca de una identidad de cada$z \in Z$: $z + x = x$ siempre $x \leq z$.
Para cada parcial identidad $z=g+(-g)$ hay un honesto a la bondad del llamado grupo de los $H$-clase (o más exactamente su Schutzenberger grupo), asociada a $z$ que consta de todos los invertible $z+m+z$$m \in M$.
Inverse semigroups como semigroups de bijections
Cada inversa semigroup es isomorfo a un semigroup que consta de bijections entre los subconjuntos de un conjunto $X$, donde la multiplicación es la mejor versión de la composición que puede manejar: si $f:A\to B$ $g:C \to D$ $f\cdot g$ es de $f^{-1}(x)$ $g(x)$siempre $x \in B \cap C$.
En términos de bijections, el conjunto $Z$ se compone de toda identidad bijections $f:A \to A :a \mapsto a$ donde $A$ es el dominio de algunos $m \in M$. En términos de bijections, $-g$ es la inversa de la función de $g^{-1} : D \to C : g(c) \mapsto c$. El parcial de identidades $g+( -g)$ $-g+g$ son las señas de identidad bijections en el dominio y el rango de $g$.
El natural orden parcial es en realidad la "subconjunto" si usted se considera un bijection a ser un conjunto de pares ordenados $(a,f(a))$, por lo que el $f \leq g$ si y sólo si $f$ es la restricción de $g$ el dominio de $f$.
El H de la clase de un idempotente $f:A\to A:a\mapsto a$ es de todas las permutaciones de $A$, es decir, bijections de$A$$A$.
Bibliografía
Recomiendo estos libros como muy clara y motivada las introducciones de estas estructuras. Lawson libro es especialmente legible y hace conexiones a la topología, la simetría, la groupoids, categoría de la teoría y la ciencia de la computación.
- Lawson, Mark V.
Inverse semigroups: La teoría de las simetrías.
World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998. xiv+411 pp. ISBN: 981-02-3316-7
MR1694900
DOI10.1142/9789812816689
- Petrich, Mario.
Inverse semigroups.
Pura y Matemática Aplicada (Nueva York). Un Wiley-Interscience Publicación. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1984. x+674 pp. ISBN: 0-471-87545-7
MR752899
