Es $\sin(1)$ algebraico sobre $\mathbb{Q}$ ?

Question

Es $\sin(1)$ algebraico sobre $\mathbb{Q}$ ?

De momento no tengo ni idea de cómo proceder. Podría decirme cómo solucionarlo?

Answer 1

Supongo que con 1 te refieres a $1^{\circ}$ . Sabemos que por Teorema de De Moivre , $\cos(90) + i\sin(90) = (\cos(1) + i\sin(1))^{90},$ pero

$$\cos(90) + i\sin(90)= i\Rightarrow (\cos(1) + i\sin(1))^{90} = i.$$

Ampliar ahora $(\cos1 + i\sin 1)^{90}$ utilizando el teorema del binomio, y considerar la parte real. Obtendrás un polinomio en $\cos(1)$ en el que cada poder de $\cos(1)$ es par. Entonces, sustituye $\cos^2(1)=1-\sin^2(1)$ y se obtiene un polinomio en $\sin(1)$ que equivale a $0$ . Por lo tanto $\sin(1)$ es algebraico sobre $\mathbb Q$ .

Answer 2

Como se explica en la respuesta de usersujo, la respuesta es SÍ si $1$ significa $1$ grado.

Sin embargo, la respuesta es NO si $\theta=1$ significa $1$ radián.

Porque entonces $\sin(\theta)=\sqrt{1-\cos^2(\theta)}$ también sería algebraica, y por tanto $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ sería algebraico. Pero sabemos $e^{i\theta}$ no es algebraico por la Teorema de Lindemann-Weierstrass