Edit 2: por tu pregunta, la respuesta es sí, usted puede encontrar contraejemplos. Considerar la secuencia de $(1/n)$, y construir la secuencia de la siguiente manera.
Inicio en $x_1 = 1$, y deje $\alpha_1$ ser una contra que empezamos a las 2. Podemos alternar entre una disminución de la fase y fase creciente.
La disminución de la fase: vamos a $x_i = x_{i-1} - 1/\alpha_{i}$ si $x_{i-1} > 1/\alpha_i$. Y aumentar el $\alpha_{i+1} = \alpha_i + 1$. Si $x_{i-1} < 1/\alpha_i$,
$$ x_i = x_{i+1} = \cdots = x_{100i} = x_{i-1}\qquad \qquad \alpha_{100i + 1} = \alpha_{i} $$
y, a continuación, entrar en la fase creciente a partir de la $100i+1$'th plazo.
El aumento de la fase: vamos a $x_i = x_{i-1} + 1/\alpha_i$ si $x_{i-1} + 1/\alpha_i < 1$. Y aumentar el $\alpha_{i+1} = \alpha_{i} + 1$. Otro conjunto de
$$ x_i = x_{i+1} = \cdots = x_{100i} = x_{i-1} \qquad \qquad \alpha_{100i + 1} = \alpha_{i} $$
y entrar en la disminución de la fase a partir de la $100i+1$'th plazo.
Debido a la larga constante de las fases, se puede ver que $\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_1^n x_i = 1$, y el $\liminf = 0$. (La duración de las fases constantes a crecer de forma exponencial, de manera que cada fase constante domina completamente todos los términos anteriores en la media).
La secuencia se parece a esto:
1, 1/2, 1/6, {300 términos de 1/6}, 5/12, 37/60, 47/60, 389/420, {repita 30700 veces}, 673/840 ...
Edit: oh, espera, por debajo de la realidad no se ocupará de la cuestión.
Como una nota del lado, el límite de $\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_1^n x_i $ es conocido como el Cesàro media de la secuencia de $x_i$. Es un hecho que para cualquier convergentes secuencia $x_i\to \bar{x}$, la secuencia de $c_n = \frac{1}{n} \sum_1^n x_i$ también converge a $\bar{x}$.
Para ello, vamos a $\delta > 0$. Basta con encontrar $N$ lo suficientemente grandes como para todos los $m > N$, $|c_m - \bar{x}| < \delta$. Debido a $x_i\to \bar{x}$, podemos encontrar $I$ grande tal que para todo $j > I$, $|x_i - \bar{x}| < \delta / 3$. Ahora elija $N > I$ lo suficientemente grande tal que
$$ \sum_1^I x_i < \frac{\delta}{3}N \qquad \textrm{and} \qquad \frac{I}{N} < \frac{\delta}{3|\bar{x}|} $$
A continuación, tenemos para todos los $m > N$:
$$ m c_m = \sum_1^I x_i + \sum_{I+1}^m x_i $$
$$ |c_m - \bar{x}| \leq | \frac{1}{m} \sum_1^I x_i | + | \frac{1}{m} \sum_{I+1}^m x_i - \bar{x} | $$
El primer término en el lado derecho está limitado por $\delta/3$. El segundo término estimamos
$$ |\frac{1}m \sum_{I+1}^m x_i - \bar{x}| \leq |\frac{1}{m} \sum_{I+1}^m (x_i - \bar{x})| + |\frac{I}{m} \bar{x}| $$
y por la construcción tanto de los términos en el lado derecho están delimitadas por $\delta / 3$. Así que hemos deseado la desigualdad.
