Si una función es una combinación de otras funciones cuyos derivados son conocidos por medio de composición, adición, etc., el derivado se puede calcular usando la regla de la cadena y similares. Pero incluso el producto de integrales no se pueden expresar en general en términos de la integral de los productos y olvídate de composición! ¿Por qué es esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aquí es muy genérico respuesta. La diferenciación es un "local" de la operación: para el cálculo de la derivada de una función en un punto, usted sólo tiene que saber cómo se comporta en un barrio de ese punto. Pero la integración es un "global" de la operación: para calcular la integral definida de una función en un intervalo de tiempo que usted tiene que saber cómo se comporta en la totalidad del intervalo de (y para calcular la integral indefinida usted tiene que saber cómo se comporta en todos los intervalos). Eso es un montón de información para resumir. En general, el local, las cosas son mucho más fáciles que el global de las cosas.
Por otro lado, si usted puede hacer el global de las cosas, tienden a ser útil debido a la cantidad de información que va en ellos. Por eso teoremas como el teorema fundamental del cálculo, la forma completa de Stokes teorema, y los principales teoremas de análisis complejos que son tan poderosas: nos permiten calcular global de las cosas en términos de un poco menos global de las cosas.
lhf
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La familia de funciones consideran en general que (por ejemplo, funciones elementales) se cierra bajo diferenciación, es decir, derivada de tal función es todavía en la familia. Sin embargo, la familia en general no es cerrada bajo integración. Por ejemplo, incluso la familia de funciones racionales no es cerrada bajo integración porque $\int 1 / x = \log$.
spence91
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En el MIT conferencia 6.001 "Estructura e Interpretación de los Programas de Ordenador" por Sussman y Abelson este contraste se discuten brevemente en términos de coincidencia de patrones. Ver la conferencia de vídeo (a las 3:56) o, alternativamente, la transcripción (p. 2 o ver la cita más abajo). El libro utilizado en la conferencia no se proporcionan más detalles.
Edit: al Parecer, se discute el algoritmo de Risch. Merece la pena echar un vistazo a la misma pregunta en mathoverflow.SE: ¿por Qué es la diferenciación de la mecánica y la integración del arte?
Y sabe de cálculo que es fácil de producir derivados de expresiones arbitrarias. Usted también sabe de su elementales de cálculo que es difícil producir integrales. Sin embargo, las integrales y sus derivados son opuestos el uno del otro. Son operaciones inversas. Y tienen la mismas reglas. Lo que es especial acerca de estas normas que lo hace posible para uno para producir derivados fácilmente y las integrales por qué es tan difícil? Vamos a pensar acerca de esto de manera muy sencilla.
Vistazo a estas reglas. Cada una de estas normas, cuando se utiliza en el la dirección para la toma de derivados, que está en la dirección de esta flecha, el lado izquierdo se compara con su expresión, y el derecho lado está la cosa, que es la derivada de la expresión. El la flecha va de esa manera. En cada una de estas reglas, las expresiones en el lado derecho de la regla de que están contenidos dentro de los derivados son las subexpresiones, son las propias de las subexpresiones, de la la expresión en el lado izquierdo.
Aquí vemos que la derivada de la suma, es la expresión en la el lado izquierdo es la suma de las derivadas de las piezas. Así la regla de movimiento para el derecho son normas de reducción. El problema se hace más fácil. Me gire un gran problema complicado es un montón de pequeños problemas y luego combinar los resultados, un lugar perfecto para recursividad para el trabajo.
Si estoy yendo en la otra dirección como esta, si estoy tratando de producir integrales, bueno, hay varios problemas que puedes ver aquí. Primero de todos, si trato de integrar una expresión como una suma, más de uno la regla de los partidos. Aquí está uno que coincida con. Aquí está uno que coincida con. Yo no sé cual elegir. Y que pueden ser diferentes. Puedo llegar a explorar cosas diferentes. También, las expresiones a ser más grande en que dirección. Y cuando las expresiones se vuelven más grandes, entonces no hay ninguna garantía de que cualquier camino que elija, va a terminar, porque nos solamente terminará accidental por cancelación. Así que por eso las integrales son búsquedas complicadas y difíciles de hacer.
Alain O'Dea
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Voy a tratar de llevar esto a usted de otra manera .Vamos a empezar por pensar en términos de algo tan simple como una línea recta . Si te doy la ecuación de una recta y = mx + c , la pendiente puede ser fácilmente determinado que en este caso no es nada pero m . .Ahora voy a hacer la pregunta un poco más difícil .Permítanme decir que la línea de arriba se cruza con el eje x e y en algunos puntos .Les pido que me des el área entre la línea de la abcissa y la ordenada
Obviamente, esto no es tan fácil como encontrar la pendiente .Usted tendrá que encontrar la intersección de la recta con el eje y de ponerse a dos puntos de intersección y, a continuación, tomar el origen como un tercer punto de encontrar el área . Este no es el único método de búsqueda de la zona como sabemos que hay un montón de fórmulas para encontrar el área de un triángulo . Ahora veamos esto en términos de curvas .Si el simple proceso de encontrar la pendiente en caso de que la línea está traducido a curvas llegamos al cálculo diferencial, que es un poco más complicado que el método de búsqueda de las pendientes de las rectas .
Agregar encontrar el área bajo la curva a y se obtiene el cálculo integral, que por nuestra experiencia de líneas rectas sabemos que debe ser mucho más difícil que encontrar la pendiente, es decir la diferenciación .También no hay nadie fijo método para encontrar el área de una figura .de ahí los Muchos métodos de. De la integración.
