Mostrar que esta métrica genera la topología del producto en $X$

Question

Dejemos que $(X_n, d_n)$ sea una secuencia de espacios métricos. Demuestre que la función $ d: X \times X \to \mathbb R^+$ en el espacio del producto $X: = \prod_n X_n$ definido por

$$d ((x_n)_{n = 1}^\infty, (y_n)_{n=1}^\infty ) := \sum_{ n=1}^\infty 2^{-n} \frac{ d_n(x_n,y_n)} { 1+ d_n (x_n,y_n) } $$

es una métrica en $X$ que genera la topología del producto en $X$ .

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He demostrado que $d$ es en realidad una métrica, lo que era fácil. Para demostrar que esta métrica genera la topología del producto creo que tengo que mostrar:

(i) Cada bola $ B((x_n)_{n=1}^\infty , \epsilon )$ es abierta en la topología del producto.

(ii) Para cualquier $B(x_n , \epsilon) \subset X_n$ , $\pi_n ^{-1} (B(x_n , \epsilon)) \subset X$ es la unión de intersecciones finitas de bolas en $(X, d)$ .

Pero ni siquiera pude empezar a hacer (i). Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces $d'=d/(1+d)$ genera la misma topología de $(X,d)$ . Así que sólo probamos esta proposición:

Dejemos que $(X_n,d_n)$ sea una secuencia de espacios métricos, y $d_n(x,y)\le 1$ para todos $n$ y $x,y\in X_n$ entonces $d((x_n),(y_n))=\sum_n 2^{-n} d_n(x_n,y_n)$ genera la topología del producto de $X=\prod_n X_n$ .

En primer lugar, demostramos que para cada $a=(a_n)_{n=1}^\infty\in X$ y $r>0$ , hay una base abierta $V$ de $X$ satisfacer que $a\in V\subset B_d(a,r)$ . Sea $N$ sea un número natural que satisfaga $2^{-N}\le r/2$ . Considere $$ V= B_1 (a_1,r/2)\times \cdots\times B_N (a_N,r/2)\times X_{N+1}\times X_{N+2}\times\cdots $$ (donde $B_i(x,r)$ es una bola abierta en $X_i$ .) Si $x\in V$ entonces $d(a_i,x_i)<r/2$ para $i=1,2,\cdots, N$ . Por lo tanto, $$ \begin{aligned} d(a,x)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}d_n(a_n,x_n)&\le \frac{1}{2}\sum_{n=1}^N 2^{-n}r + \sum_{n>N}2^{-n}\\ &=(1-2^{-N})\cdot\frac{r}{2}+2^{-N}\\ &< \frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r \end{aligned} $$ así que $x\in B_d(a,r)$ .

Por último, se demuestra que para cada $a\in X$ y para cada base $V$ de $X$ que contaning $a$ hay $r$ satisfacer que $a\in B_d(a,r)\subset V$ . Es fácil de demostrar, así que dejo la prueba de esta parte para la suya.