Igualdad de Minkowski ' prueba de desigualdad s (no integrales)

Question

Así que lo que estoy buscando es una prueba para cuando se hace el mantener la igualdad en la desigualdad de Minkowski? Estoy hablando acerca de esta forma de desigualdad: $\left( \sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}$$

No el uso de las integrales. Gracias de antemano! Por favor ayuda, necesito esto con urgencia para mi tarea.

Sé que cuando se hace la igualdad de espera, no puedo averiguar cómo demostrarlo. Se mantiene cuando (X1, ..., Xn) = c*(Y1, ..., Yn), donde c es una constante real (esto es similar a la del Titular de la desigualdad que he utilizado para probar la desigualdad de Minkowski). Así que puedo señalar que igualmente mantiene en Minkowski del caso, como supongo que hace? Gracias.

EDITAR:

He demostrado que si (X1, ..., Xn) = c*(Y1, ..., Yn) , entonces la igualdad se mantiene. Ahora, cómo hacer a la inversa - si la igualdad se mantiene, entonces (X1, ..., Xn) = c*(Y1, ..., Yn) ? Debido a que estos son equivalentes.

Answer 1

En el caso de que $p=1$, la de Minkowski de la Desigualdad no es sino un montón de triángulo de las desigualdades de los números reales, que es $\left( \sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}$, cuando se $p=1$$\left( \sum_{K=1}^n |x_k + y_k| \right) \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|\right) + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|\right)$,

La igualdad tiene al $x_ky_k\ge0$, para cada k, que es $x_k$ $y_k$ son no-negativa o no positiva. Así, que da $x_k=c_ky_k$, para algunos positivos $c_k$, para eack $k$.

Para el caso de $p>1$, es de suponer que usted utiliza, $\left( \sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^p \right)=\left( \sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^{p-1}|x_k + y_k| \right)\le \sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^{p-1}|x_k|+\sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^{p-1}|y_k|$, que es un triángulo desigualdad, seguido por el Titular de la desigualdad,

$\sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^{p-1}|x_k|\le (\sum\limits_{k=1}^n|x_k|^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum\limits_{k=1}^n|x_k+y_k|^{(p-1)q})^{\frac{1}{q}}$ donde $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

y del mismo modo, $\sum_{K=1}^n |x_k + y_k|^{p-1}|y_k|\le (\sum\limits_{k=1}^n|y_k|^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum\limits_{k=1}^n|x_k+y_k|^{(p-1)q})^{\frac{1}{q}}$

y añadió las expresiones para obtener el resultado deseado.

Así, para lograr la igualdad en la Desigualdad de Minkowski necesita tanto de la igualdad en tanto el Titular como el triángulo de la desigualdad.

$|x_k|^p=\lambda_1|x_k+y_k|^{(p-1)q}$, $|y_k|^p=\lambda_2|x_k+y_k|^{(p-1)q}$ y $|x_k+y_k|=|x_k|+|y_k|$ ($p$$q$ son conjugadas de los índices). Por lo $|x_k|^p=(\frac{\lambda_1}{\lambda_2})|y_k|^p$ es necesario y como condición suficiente para el Triángulo de la Desigualdad, y del Titular así. Así, que nos da la igualdad de condición de ser $|x_k|=c|y_k|$, para cada una de las $k$ donde $c>0$.