Sea$\kappa, \lambda,\theta$ cardinales infinitos de$M$ donde$M$ es un modelo transitivo de ZFC. Sea$\mathcal{P}=Fn(\kappa\times \omega,2)$ (funciones finitas de$\kappa\times \omega$ a 2) y G es un conjunto genérico (M, P). Quiero mostrar $(\lambda^\theta)^{M[G]}=(max(\kappa,\lambda)^\theta)^M$. Una dirección es fácil$(\lambda^\theta)^M \leq (\lambda^\theta)^{M[G]}$ y$(\kappa^\theta)^M\leq (\kappa^\theta)^{M[G]}\leq ((2^\omega)^\theta)^{M[G]}=(2^\theta)^{M[G]}\leq (\lambda^\theta)^{M[G]}$ donde$(\kappa \leq 2^\omega)^{M[G]}$ es por la construcción forzada. Pero ahora no estoy muy seguro de cómo llegar a la otra dirección. ¿Alguna idea?
Respuesta
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user1037894
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Este es el ejercicio (G1) en K.Kunen "Set Theory".
Si$\lambda \le \theta$ then$\lambda^\theta = 2^\theta$ y usando el lema VII 5.13 obtenemos el resultado.
Si$\lambda \gt \theta$ entonces usando el lema 5.5 podemos aproximar esta potencia en V ("hasta$\omega$"), por lo tanto$(\lambda^\theta)^{M[g]} \le ( (\lambda^\omega))^\theta )^M = (\lambda^\theta)^M$
