¿Es la inversa de un ideal fraccionario todavía fraccional?

Question

Deje $R$ ser un dominio de Dedekind, $K$ el campo de fracciones de $R$, $\mathfrak{m}$ ser un ideal fraccional de $R$, es decir, un no-cero finitely generadas $R$-submódulo de $K$. Definimos $$\mathfrak{m}^{-1}:=\{y\in K: y\mathfrak{m}\subseteq R\}$$

Quiero demostrar que la $\mathfrak{m}^{-1}$ es un ideal fraccional.

Para cada $y\in\mathfrak{m}^{-1}, r\in R$,$ry\in\mathfrak{m}^{-1}$, lo que asegura que el $\mathfrak{m}^{-1}$ $R$- submódulo de $K$.

Deje $x\in\mathfrak{m},x\neq 0$. A continuación,$\mathfrak{m}^{-1}x\subseteq R$, por definición de $\mathfrak{m}^{-1}$, por lo que el $\mathfrak{m}^{-1}\subseteq x^{-1}R$, pero $x^{-1}R$ es un finitely generadas $R$-módulo, $R$ es noetherian, por lo tanto $x^{-1}R$ es noetherian (como un módulo), por lo $\mathfrak{m}^{-1}$ es finitely generado, como un sub-módulo de un noetherian módulo.

Con el fin de tener $\mathfrak{m}^{-1}$ fraccional ideal, necesito $\mathfrak{m}^{-1}\neq 0$. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Como$\mathfrak m$ es generado finitamente, puede encontrar una familia de generación$\frac {a_1}{b_1}, \ldots, \frac {a_n}{b_n} \in \mathfrak m$. Ahora deja $c = b_1b_2 \ldots b_n$. Para todo$i$,$c\frac {a_i}{b_i} \in R$, y así para todos$m \in \mathfrak m, cm \in R$. De ahí que$c \in \mathfrak m^{-1}$

Answer 2

Dado que$K$ es el campo de fracciones de$R$, para cada$a\in K$ no nulo, existe un$b\in R$ tal que$ba\in R$. Asumimos$\mathfrak{m}\neq 0$, así que$a$ es un elemento distinto de cero. Entonces su elemento correspondiente$b$ debe estar en$\mathfrak{m}^{-1}$. Por lo tanto,$\mathfrak{m}^{-1}\neq 0$.