Utilice la regla de L'Hopital para evaluar$\lim_{x \to 0} \frac{9x(\cos4x-1)}{\sin8x-8x}$

Question

ps

He hecho este problema un par de veces y no podía obtener la respuesta correcta. Aquí está el trabajo que he hecho hasta ahora http://imgur.com/GDZjX26 . La respuesta correcta fue$$\lim_{x \to 0} \frac{9x(\cos4x-1)}{\sin8x-8x}$, ¿diferencié algo en alguna parte?

Answer 1

Tienes que usar L'Hopitals 3 veces tenemos $$ \begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{9x(\text{cos}(4x)-1}{\text{sin}(8x)-8x}&=\lim_{x\to 0}\frac{(9 (\text{cos}(4 x)-1)-36 x \text{sin}(4 x))}{(8 \text{cos}(8 x)-8)}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{64}\frac{(-72 \text{sin}(4 x)-144 x \text{cos}(4 x))}{\text{sin}(8x)}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{512}\frac{(576 x \text{sin}(4 x)-432 \text{cos}(4 x))}{\text{cos}(8x)}\\&=\frac{432}{512}\\&=\frac{27}{32}.\end {align} $$

Answer 2

Usando L'Hospital Rule repetidamente,

ps

ps

ps

ps

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ps

ps

¿Puedes llevarlo a casa?

Alternativamente,

utilizando $$\lim_{x \to 0} \frac{9x(\cos4x-1)}{\sin8x-8x}$

ps

Ahora,$$=\lim_{x \to 0} \frac{9(\cos4x-1)+9x(-4\sin4x)}{8\cos8x-8}$ $

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