Sea H un subgrupo de un grupo G. Sea $k,g \in G$ tal que $gH = Hk$ . Supongamos además que $[G:H]$ es un número entero primo, y que $g \notin H$ . Demuestre que H es normal en G.
No tengo ni idea de cómo hacer esta pregunta. ¿Puede alguien decirme cómo empezar?
Si hay $g,k\in G$ con $g\notin H$ y $gH = Hk$ , entonces para este particular $g$ tenemos $gH = Hg$ o, por el contrario $gHg^{-1} = H$ . Esto se debe a que bajo estas hipótesis $g \in Hg \cap Hk = Hg \cap gH$ y dos cosets derechos son disjuntos o iguales.
Así, para el normalizador $$N_G(H) = \{x\in G : xHx^{-1} = H\} \tag{$ \N - El brindis $}$$ sabemos $g \in N_G(H)$ y por lo tanto $H \subsetneqq N_G(H)$ . Desde $$[G:H] = [G : N_G(H)] \cdot [N_G(H) : H]$$ es primo y $[N_G(H) : H] > 1$ por $(\ast)$ se deduce que $[G : N_G(H)] = 1$ es decir $N_G(H) = G$ En otras palabras $H$ es normal.
Considere el conjunto $A = \{ xHx^{-1} : x \in G\}$ . Es decir, el conjunto de conjugados de $H$ . En ese conjunto, dejemos que $G$ actuar por el mapeo $\kappa\colon (y, xHx^{-1}) \mapsto y(xHx^{-1})y^{-1}$ . Dado que este último es $(yx)H(yx)^{-1}$ para cada $y\in G$ el mapa $\kappa_y \colon M \mapsto yMy^{-1}$ es una permutación de $A$ .
¿es una acción de grupo? ¿Es posible resolver sin utilizar la acción de grupo porque no he aprendido que
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Su pregunta no es clara. ¿Cuál es la conexión del $k$ y $g$ con su pregunta?
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Supongo que quieres decir que por cada $g\notin H$ existe $k\in G$ s.t $gH=Hk$
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@Susobhan Creo que la suposición es que existe $g,k\in G$ con $g\notin H$ , de tal manera que $gH = Hk$ para estos dos elementos. Sería trivial, y la suposición de que el índice es primo irrelevante si fuera $\forall g \exists k$ . ¿Puedes confirmarlo, macho?
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Me parece que la pregunta es: si todo coset izquierdo de $H$ es un coset derecho y si el índice es primo, entonces $H$ es normal.
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Lo siento, escribí mal. Editado
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Lo que sea que hayas editado macho, sigue sin tener mucho sentido. parece lo mismo.