Como seguimiento a esta pregunta, he estado haciendo algunos trabajos de conteo de pares de desplazamiento, nilpotent, $n\times n$ matrices de más de $\mathbb{F}_q$. Hasta ahora, yo creo que para $n=2$, $q^3+q^2-q$ de estas parejas, y para $n=3$ hay $q^8+q^7+q^6-q^5-q^4$ de estas parejas. ¿Alguien puede reconocer estos polinomios, generalizar arbitraria $n$, y probar el resultado?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Chris Benard
Puntos
1430
Te puedo dar una fórmula que muestra que la respuesta es polinomio en $q$. Deje $\lambda$ ser una partición, con el camino de $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_a$. Más concretamente, vamos a $$\begin{array}{lclclclc} \lambda_1 &=& \lambda_2 &=& \cdots &=& \lambda_{b_1} &\geq \\ \lambda_{b_1+1} &=& \lambda_{b_1+2} &=& \cdots &=& \lambda_{b_1+b_2} &\geq \\ \cdots \\ \lambda_{b_1+\cdots+b_{r-1}+1} &=& \lambda_{b_1+\cdots+b_{r-1}+1+2} &=& \cdots &=& \lambda_{b_1+\cdots+b_{r-1}+b_r} & \\ \end{array}$$ por lo $b_1+b_2+\cdots + b_r = a$. El número de pares es $$\sum_{|\lambda|=n} q^{\binom{n}{2} + \sum_{j=1}^r \binom{b_j}{2}} \frac{\prod_{k=1}^{n} (q^k-1)}{\prod_{j=1}^r \prod_{i=1}^{b_j} (q^i-1)} = q^{\binom{n}{2}} \sum_{|\lambda|=n} q^{\sum_{j=1}^r \binom{b_j}{2}} \left[ \begin{matrix} a \\ b_1, b_2, \ldots, b_r \end{matrix} \right]_q \prod_{k=a+1}^n (q^k-1)$$ donde el $\left[ \begin{matrix} a \\ b_1, b_2, \ldots, b_r \end{matrix} \right]_q$ es el $q$-deformación del coeficiente multinomial.
Por ejemplo, aquí está el cálculo de $n=3$: $$\begin{array}{|l|l|l|c@{}c@{}c|} \hline \lambda & a & (b_1, \ldots, b_r) & q^{\binom{b_j}{2}} & \left[ \begin{matrix} a \\ b_1, b_2, \ldots, b_r \end{de la matriz} \right]_q & \prod_{k=un+1}^n (q^k-1) \\ \hline (3) & 1 & (1) & & & (q^2-1)(q^3-1) \\ (2,1) & 2 & (1,1) & & (q+1) & (q^3-1) \\ (1,1,1) & 3 & (3) & q^3 & & \\ \hline \end{array}$$ y, efectivamente $$q^3 \left( (q^2-1)(q^3-1) \ + \ (q+1) (q^3-1) \ + \ q^3 \right) = q^8+q^7+q^6-q^5-q^4$$
Prueba Como era de esperar, las particiones $\lambda$ codificación de Jordania formas normales. Para una partición $\lambda$$n$, vamos a $J(\lambda)$ $n \times n$ nilpotent matriz con Jordania bloques de tamaño $\lambda$. Deje $E(\lambda)$ el conjunto de $n \times n$ matrices que conmutan con a $J(\lambda)$, lo $E(\lambda)$ es un anillo. Deje $A(\lambda)$ denotar el grupo de la unidad en $E(\lambda)$ y deje $N(\lambda)$ denotar la nilpotents de $E(\lambda)$. Deje $GL_n$ el grupo de $n \times n$ invertible matrices de más de $\mathbb{F}_q$.
El número de $n \times n$ nilpotent matrices con Jordania tipo de $\lambda$ es $\frac{|GL_n|}{|A(\lambda)|}$, ya que el $GL_n$ actúa transitivamente con estabilizador $A(\lambda)$. Para cualquier matriz en esta órbita, el número de nilpotent matrices que conmutan con es $|N(\lambda)|$. Así que queremos calcular $$|GL_n| \sum_{|\lambda|=n} \frac{|N(\lambda)|}{|A(\lambda)|} = |GL_n| \sum_{|\lambda|=n} \frac{|N(\lambda)|/|E(\lambda)|}{|A(\lambda)|/|E(\lambda)|}$$ Me gusta pensar en el numerador y el denominador de la fracción como la probabilidad de que una matriz en la $E(\lambda)$ será nilpotent o invertible (respectivamente).
Ahora es útil el uso de la estructura de anillo en $E(\lambda)$. Deje $M(\lambda)$ $\mathbb{F}_q[t]$ módulo que es $\mathbb{F}_q^n$ como un espacio vectorial, y donde $t$ hechos por $J(\lambda)$. El siguiente párrafo es muy similar a mi respuesta aquí, donde el papel de la $M(\lambda)$ es jugado por un número finito de grupo abelian $\bigoplus \mathbb{Z}/p^{\lambda_i}$.
El anillo de $E(\lambda) = \mathrm{End}_{\mathbb{F}_q[t]} M(\lambda)$. Una matriz de $X$ $E(\lambda)$ es nilpotent (respectivamente invertible) si y sólo si $X$ actos nilpotently (respectivamente invertibly) en $M(\lambda) / t M(\lambda)$. Como un espacio vectorial, $M(\lambda)/t M(\lambda)$ tiene dimensión $a$, e $E(\lambda)$ actúa por el bloque superior triangular de las matrices con la estructura de bloque de $(b_1, b_2, \ldots b_r)$. Un bloque triangular superior de la matriz es nilpotent (resp. invertible) si y sólo si cada uno de los bloques es nilpotent (resp. invertible), y cada uno de los bloques es independiente.
La probabilidad de que un $b \times b$ matriz es invertible si $\prod_{i=1}^b (1-q^{-i})$. De tu pregunta anterior, la probabilidad de que un $b \times b$ matriz es nilpotent es $q^{-b}$. Ahora conecte la fórmula para $|GL_n|$ y reorganizar para conseguir lo anterior.
La respuesta a este tipo de preguntas suele ser muy bien formulado en términos de generación de funciones. Así que usted está tratando de obtener una fórmula para la formal de la suma $$\Lambda^{n,n}(z,q)=\sum_{d \geq 0} \frac{X^{n,n}_d(q)}{|GL_d(\mathbb{F}_q)|}z^d$$ donde $X^{n,n}_d(q)$ representa el número de pares de los desplazamientos nilpotent matrices en $gl_d(\mathbb{F}_q)$. Aquí los exponentes n,n en la notación es recordar que estamos considerando nilpotent matrices. Se puede considerar también el problema de calcular el número de pares de los desplazamientos de las matrices en las que la primera es nilpotent, o el número de pares de matrices que conmutan (sin nilpotency condición). Esto nos lleva a dos variantes
$$\Lambda^n(z,q)=\sum_{d \geq 0} \frac{X^n_d(q)}{|GL_d(\mathbb{F}_q)|}z^d$$
$$\Lambda(z,q)=\sum_{d \geq 0} \frac{X_d(q)}{|GL_d(\mathbb{F}_q)|}z^d$$
con evidente notaciones.
En este último caso (pares arbitraria de los desplazamientos de las matrices, la respuesta fue dada (en estas condiciones) por Feit y bien en el papel :
W. Feit, N. J. Fina, los Pares de los desplazamientos de las matrices sobre un campo finito, Duque de Matemáticas. J 27, 1960 91--94.
En términos de plethystic exponenciales, las respuestas son como sigue :
$$\Lambda(z,q)=Exp\left(\sum_{d \geq 1} \frac{q^2z}{(q-1)(1-z)}\right)$$ $$\Lambda^n(z,q)=Exp\left(\sum_{d \geq 1} \frac{qz}{(q-1)(1-z)}\right)$$ $$\Lambda^{n,n}(z,q)=Exp\left(\sum_{d \geq 1} \frac{z}{(q-1)(1-z)}\right)$$
El plethystic exponenciales se definen como sigue : para cualquier poder formal de la serie de $f(q,z)$ en q y z con coeficientes racionales, conjunto $$Exp(f(q,z))=exp\left(\sum_{l \geq 1} \frac{1}{l} f(q^l,z^l)\right).$$
Las fórmulas anteriores pueden ser probados utilizando una argumentación directa, como se explicó anteriormente por David, (junto con algunas inteligente combinatoria). También hay más de fantasía maneras de probar estos, que pueden ser generalizados a la configuración de un arbitrario de la aljaba (en el presente caso, se corresponde con el caso de la Jordania de la aljaba); en ese caso la respuesta es dada en términos de la llamada "Kac polinomios' de la aljaba. Cuando no nilpotency condición es necesaria, esto se hace por Mozgovoy en
S. Mozgovoy, Motivic Donaldson-Thomas invariantes y McKay correspondencia, arXiv:1107.6044 (2011)
Cuando uno impone un 'medio' nilpotency condición, esto es hecho en mi papel
O. Schiffmann, En el número de puntos de la Lusztig nilpotent variedad, más de un campo finito, arXiv:1212.3772
(este artículo está en proceso de ser revisado y mejorado, hay algunos errores tipográficos en el interior).
