Preguntas sobre el grado de libertad en Relación General

Question

Estoy confundido sobre el número de grados de libertad en General Relatity. Hay dos maneras de contar. Sin embargo, son contradictorias. Por simplicidad, consideramos que la solución de vacío.

En primer lugar, $G_{\mu\nu}=0$ da $10$ ecuaciones y $g_{\mu\nu}$ ha $10$ grados de libertad(d.o.f). Mientras que $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ $4$ identidades, sólo $6$ original $10$ ($G_{\mu\nu}=0$) las ecuaciones son independientes. Así que ahora hay $6$ ecuaciones independientes y $10$ grados de libertad. Porque no hay transformación de coordenadas de la libertad, $4$ $10$ son de calibre de la libertad. Dado $4$ coordinar condiciones, sólo $6$ son de tipo físico grados de libertad y hay $6$ ecuaciones independientes, por lo que está bien definido.

En segundo lugar, si consideramos el formalismo Hamiltoniano, necesitamos ADM descomposición donde $N$ $N^i$ son de Lagrange mutipliers y se puede dar de forma arbitraria. Así que hay $6$ grados de libertad que se $g_{ij}$. Mientras que $N$ $N^i$ dar $4$ restricciones, sólo $6-4=2$ son de tipo físico grados de libertad.

Por lo tanto, no hay contradicción sobre el número de d.o.f entre las Ecuaciones de Campo de Einstein que dan $6$ y Hamiltionian formalismo que da $2$.

Así que he siguientes preguntas:

1）Cómo conciliar sobre la contradicción? Cuánto física grados de libertad están en GR?

2) Hay un refrán que dice que la masa de spin-2 partículas tienen dos d.o.f. Es este d.o.f igual a la física d.o.f $g_{\mu\nu}$?

3) siempre Nos dicen que debido a la libertad de coordiante transformación (o calibre de la libertad) ,$x^\mu \xrightarrow{} x^\mu+\xi^\mu(x)$ , se puede disminuir el $4$ d.o.g en $g_{\mu\nu}$. Sin embargo, en la electrodinámica, $A^\mu$ también tiene medidor de la libertad $A^\mu \xrightarrow{} A^\mu + \partial^\mu \Lambda(x) $, lo que puede disminuir el $2$ d.o.f $A^\mu$. Sé cómo deducir estos. Sólo quiero saber por qué en GR $4$ funciones de la libertad de $\xi^\mu(x)$ puede disminuir el 4 d.o.f , mientras que en la electrodinámica $1$ función de la libertad de $\Lambda(x)$ puede disminuir el $2$ d.o.f .

Comentario: he oído a alguien decir que en el primer caso, $g_{\mu\nu}$ ha $10$ d.o.f, calibre libertad disminuir el $4$ d.o.f, y Bianchi identidades $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ $4$ limitaciones que disminuyen $4$ d.o.f $g_{\mu\nu}$ , lo $10-4-4=2$ físico d.o.f están a la izquierda. Creo que no es correcto, porque la identidad es diferente de constriant. Identidad disminuye el número de idependent ecuaciones, mientras que constriant disminuye el número de d.o.f. Porque dado cualquier $g_{\mu\nu}$, $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ siempre tienen la razón, $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ no tiene ninguna restricción en $g_{\mu\nu}$.

Answer 1

El punto clave en todo esto es que la relatividad general es una teoría de gauge, y, como dice el refrán, "el medidor siempre golpea dos veces" (al parecer, atribuido a Claudio Teitelboim). Lo que esto significa es que (1) usted tiene una arbitraria de la libertad en la definición de su evolución, correspondiente a la capacidad de hacer indicador de las transformaciones, y (2) algunas de las ecuaciones de evolución será restricciones. Este segundo hecho significa que no se le permite elegir inicial arbitraria de datos para su teoría; por el contrario, los datos iniciales que usted elija, es sujeto a las limitaciones que surgen desde su acción es invariante gauge.

Es generalmente más fácil empezar con el vacío de la electrodinámica. Allí las ecuaciones de movimiento de leer $$\partial^\mu(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)=0.$$ No todas estas ecuaciones son de segundo orden en el tiempo, sólo tiene que buscar en el $\nu=0$ componente: $$\partial_t^2 A_0 - \nabla^2A_0 -\partial_t(\partial_t A_0 - \nabla\cdot\vec{A}) = 0 \\ \implica\partial_t\nabla\cdot\vec{A}-\nabla^2A_0 = 0.$$

Esta es básicamente la $\nabla\cdot \vec{E} = 0$ vacío ecuación de Maxwell (es decir, gauge de Coulomb con $\nabla\cdot\vec{A}=0$$\vec{E} = -\nabla A_0$). Esta es una restricción en su inicial de datos, ya que no está permitido realizar una elección arbitraria de $(A_0, \vec{A})$$(\partial_t A_0, \partial_t \vec{A})$; más bien, ellos necesitan para cumplir con esta restricción. Así que esto reduce el número de condiciones iniciales de 4 a 3. A continuación, el calibre de transformación de $A_\mu \mapsto A_\mu + \partial_\mu \lambda$ le permite cortar otra pieza de datos inicial, mediante la imposición de un medidor de fijación de condición (es decir,$\nabla\cdot\vec{A}=0$). Esto nos lleva a 2 grados de libertad.

Para la relatividad general, ahora tiene 4 medidor de libertades generado por diffeomorphisms descrito por un vector de $\xi^\mu$. Para la aplicación de la máxima, debemos esperar para cortar la $4\times2=8$ grados de libertad. De hecho, la identidad de Bianchi dice dónde buscar para las restricciones. Vamos a ampliar un poco: $$0=\nabla_\mu G^{\mu\nu} = \partial_0 G^{0\mu}+\partial_i G^{i\mu} + \Gamma^\mu_{\mu\alpha}G^{\alpha \nu}+ \Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}G^{\mu\alpha}.$$ Esto nos dice que el primer tiempo derivativo ( $\partial_0$ ) $G^{0\mu}$ está relacionado con el espacio, los derivados de la $G^{i\mu}$ así como los términos con los no derivados de $G^{\mu\alpha}$. Lo importante aquí es que esto es una identidad, por lo que se mantiene incluso si usted no imponer el vacío de las ecuaciones de Einstein $G^{\mu\nu}=0$. El tensor de la $G^{\mu\nu}$ tiene dos derivados de la métrica. Pero si $G^{0\mu}$ tenía dos el tiempo de los derivados que aparecen, no habría manera de satisfacer la identidad de Bianchi porque no hay otro término en la identidad de tres de tiempo derivados de la actuación en la métrica. Esto significa $G^{0\mu}$ no son la evolución de las ecuaciones--implican sólo una vez derivado de la dinámica de las variables, y por lo tanto son de valor inicial restricciones. Así que mata a 4 grados de libertad, y de matar a 4 más de medidor de fijación. Esta es la forma de conseguir el $10-4-4=2$ grados de libertad en la relatividad general.

Y en cuanto a tu segunda pregunta, sí la relatividad general describe los dos grados de libertad de una masa de spin-2 de partículas.

Answer 2

Es interesante echar un vistazo a una versión linealizada de la gravedad, con $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$

Si usted elige el gauge de Lorentz : $$\partial^\mu \bar h_{\mu\nu}=0 \quad\quad \bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} h^i_i \,\eta_{\mu\nu} \tag{0}$$ las ecuaciones de movimiento en el vaccuum son simplemente : $$\square \bar h_{\mu\nu}=0 \tag{1}$$

El gauge de Lorentz mata a $4$ grados de libertad. Por otra parte, hay un residual medidor de libertad compatible con el gauge de Lorentz, podemos considerar la posibilidad de la transformación:

$$ h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu+ \partial_\nu \xi_\mu \quad\quad \square \xi_\mu = 0\tag{2}$$ En términos de la $\bar h_{\mu\nu}$, esto nos da :

$$\bar h_{\mu\nu} \to \bar h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu+ \partial_\nu \xi_\mu - (\partial^i \xi_i) \eta_{\mu\nu} \tag{3}$$

Es fácil ver que esta transformación es compatible con el gauge de Lorentz, y tienes libertad absoluta en la $\xi_\mu$, por lo que mata a $4$ otros grados de libertad.

Por último, obtendrá $10-4-4=2$ grados de libertad.