Suma de dos variables aleatorias geométricas independientes

Question

Sean X e Y variables aleatorias independientes,

$ P(X = k) = P(Y = k) = p(1 - p)^{k-1} $

¿Cómo se demuestra que el pmf de $ Z = X + Y $ es binomio negativo, y cómo se encuentra

$ P(X = Y) $ ?

Answer 1

Aunque la respuesta de Timothy Wagner es correcta, pensé que le gustaría ver otra forma de responder a su primera pregunta.

A menudo, la forma más sencilla de demostrar que la suma de variables aleatorias independientes tiene una determinada distribución es utilizar funciones generadoras de momentos . Esto se debe a que 1) si $X$ y $Y$ son independientes con mgf's $M_X(t)$ y $M_Y(t)$ entonces $M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)$ y 2) las funciones generadoras de momentos (cuando existen) caracterizan las distribuciones.

Aplicando esto a su problema, una geometría $(p)$ la variable aleatoria tiene mgf $$\frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t}.$$

Así, $$M_{X+Y}(t) = \left(\frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t}\right)^{2}.$$ Ya que se trata de la mgf de una variable aleatoria binomial negativa, $X+Y$ debe tener una distribución binomial negativa.

(Hay diferentes convenciones para definir las variables aleatorias binomiales negativas y geométricas, por lo que dependiendo de la convención utilizada en una referencia particular los mgf allí pueden ser ligeramente diferentes de los que doy aquí).

Answer 2

$P(Z=r)=\Sigma_{k=1}^r P(X=k)P(Y=r-k)$

$P(X=Y)=\Sigma_{k=1}^{\infty} P(X=k)P(Y=k)$

Estoy asumiendo $k$ es un número entero positivo. En caso contrario, hay que modificar las sumas en consecuencia.