¿Cuál es la diferencia entre un "grupo abeliano libre" y un grupo libre que es abeliano o un grupo abeliano que es libre .. parece muy confuso porque en mi entendimiento un grupo libre$G$ es un grupo que tiene una base $B=(b_i)_i$, es decir $\forall g\in G$, $g=\prod{b_i^{m_i}}$ ,$m_i\in \mathbb Z$. En particular, cuando$G$ es abelian, escribimos esto de manera aditiva y tenemos$g=\sum_{i}{m_ib_i}$,$m_i\in\mathbb Z$ y lo llamamos un "grupo abeliano libre" ¿es esto correcto?
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Lorin Hochstein
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Su error está en la descripción de la (absolutamente) de grupo libre.
Un grupo libre con "base" $\{b_i\}$ no consta de los elementos de la forma $\prod b_i^{m_i}$.
Un grupo libre con "base" $\{b_i\}_{i\in I}$ se compone de todas las secuencias finitas de la forma $$(b_{i_1}^{\epsilon_1},\ldots,b_{i_m}^{\epsilon_m})$$ donde $m\geq 0$, $\epsilon_j\in\{1,-1\}$ para cada $j$, $i_j\in I$ para cada una de las $j$; y no existe $j$ tal que $i_j=i_{j+1}$$\epsilon_j=-\epsilon_{j+1}$. Estos son llamados "la reducción de las palabras". El conjunto $\{b_i\}_{i\in I}$ no es generalmente llamado base, sino más bien una "libre de generación del sistema".
La regla de la multiplicación se define como "yuxtaponer y cancelar": si $$(b_{i_1}^{\epsilon_1},\ldots,b_{i_m}^{\epsilon_m})$$ y $$(c_{k_1}^{\delta_1},\ldots,c_{i_n}^{\delta_n})$$ son dos reducido de palabras, entonces su producto es definido de forma recursiva: $$\begin{align*} (b_{i_1}^{\epsilon_1},\ldots,b_{i_m}^{\epsilon_m})&*(c_{k_1}^{\delta_1},\ldots,c_{k_m}^{\delta_n})\\ &= \left\{\begin{array}{ll} (b_{i_1}^{\epsilon_1},\ldots,b_{i_m}^{\epsilon_m}) &\text{if }n=0;\\ \\ (c_{k_1}^{\delta_1},\ldots,c_{k_n}^{\delta_n}) &\text{if }m=0;\\ \\ (b_{i_1}^{\epsilon_1},\ldots,b_{i_m}^{\epsilon_m},c_{k_1}^{\delta_1},\ldots,c_{k_n}^{\delta_n}) &\text{if }i_m\neq k_1\text{ or }(i_m=k_1\text{ and }\epsilon_m=\delta_1)\\ \\ (b_{i_1}^{\epsilon_1},\ldots,b_{i_{m-1}}^{\epsilon_{m-1}})*(c_{k_2}^{\delta_2},\ldots,c_{k_n}^{\delta_n})&\text{if }i_m=k_1\text{ and }\epsilon_m = -\delta_1. \end{array}\right. \end{align*} $$
La idea es que la secuencia corresponde a simplemente una expresión de productos de $b_i$ y sus inversos, en los que el sólo cosas que se nos permite "simplificar" se $b_ib_i^{-1}$$b_i^{-1}b_i$. Todo lo demás es "izquierda indicado".
Gratis los grupos son difíciles de objetos para acostumbrarse a la primera vez que encuentro de ellos. Pero hay montones y montones de forma de pensar acerca de ellos: formalmente, como en el anterior, y jugar directamente con las palabras y los elementos. "Universalmente", a través de la universal de los bienes; se pueden encontrar tres diferentes maneras de pensar acerca de los mismos en el contexto de George Bergman la Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones (véase el Capítulo 2 para una gran discusión libre de los grupos). Usted puede pensar en ellos "topológicamente", como fundamentales en los grupos de gráficos. Y otras formas.
Lo que no puede hacer en un grupo libre es de libre permutar base de los elementos. En un grupo de free, $b_ib_j = b_jb_i$ si y sólo si $i=j$. Por lo que no puede expresar arbitraria de elementos como usted afirma.
palio
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Esto es lo que entiendo ahora:
Una base se define sólo para un grupo abelian. Un grupo abelian $G$ tiene una base $B=(b_i)_i$ si $\forall g\in G$, existe únicas $(m_i)_i$ enteros $\in \mathbb Z$ tal que $g=\sum{m_ib_i}$. Esta definición de la base no puede ser generalizado a un no abelian grupo, ya que la asociación de un $m_i$ por cada $g_i$ no es posible como $b_i$ puede ser encontrado en mayo de ubicaciones, por ejemplo supongamos que una base es$B=\{b_1,b_2,b_3\}$, a continuación, un elemento como el $b_1^2b_2^5b_1^{-1}b_3^4b_2^3$ no puede ser descrito por una enteros $(2,5,-1,4,3)$. Es por eso que para un grupo general no hablamos de un base, pero hablamos de un conjunto $B$ que libremente genera $G$ en el sentido de que cada una de las $g$ únicamente está escrito como un producto de los elementos de $B$ y sus inversas.
Shinwari
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Aunque es útil pensar libre de grupos en la manera que usted describe, que no es realmente lo que son. La libre-ness tiene que ver con el hecho de que son los objetos libres en la categoría de grupos. Del mismo modo, el libre abelian grupos son los objetos libres en la categoría de abelian grupos. Lo que pasa es que las definiciones que dan (que son correctos, de una manera informal, por lo que el tiempo que señala que esa palabra nunca es el trivial de la palabra a menos que sea libremente trivial) coinciden con estas definiciones.
Básicamente, dada una función de $S$ a un grupo de $G$ existe un único homomorphism $\varphi: F_S\rightarrow S$ de manera tal que el siguiente diagrama conmuta,
donde $F_S$ es el grupo en el set $S$ ($S$ es su base $B$). Ahora, dada una función de $S$ a un abelian grupo $G$ existe un único homomorphism $\varphi: A_S\rightarrow S$ de manera tal que el diagrama anterior desplazamientos (si reemplazamos $F_S$$A_S$), donde $A_S$ es el libre abelian grupo en el set $S$.
Es relativamente fácil de ejercicio (o, al menos, la prueba se puede encontrar en la mayoría de los decentes grupo de teoría de los textos) para demostrar que si $|S|\geq 2$ $F_S$ no viaje, y voy a dejar de probarlo. Sin embargo, si $S=1$ $F_S$ desplazamientos (por qué?). Así, la única conmutativa de grupo libre es $F_{a}(\cong \mathbb{Z})$.
