La prueba de que la suma de dos variables gaussianas es otra Gaussiana

Question

La suma de dos variables gaussianas es otra gaussiana.
Parece natural, pero no pude encontrar una prueba usando Google.

¿Qué es un camino corto para probar esto?
¡Gracias!

Editar: Siempre que las dos variables sean independientes.

Answer 1

He preparado lo siguiente como respuesta a una pregunta que se cerró justo cuando estaba dando los últimos toques a mi trabajo. que se cerró justo cuando estaba dando los últimos toques a mi trabajo. La publiqué como una pregunta diferente (auto-respuesta) pero siguiendo las sugerencias de Srivatsan Narayanan y Mike Spivey, la pongo aquí y borro mi supuesta pregunta.

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias gaussianas estándar independientes, ¿cuál es la función de distribución acumulativa de $\alpha X + \beta Y$ ?

Dejemos que $Z = \alpha X + \beta Y$ . Suponemos sin pérdida de generalidad que $\alpha$ y $\beta$ son números reales positivos ya que si, por ejemplo $\alpha < 0$ entonces podemos sustituir $X$ por $-X$ y $\alpha$ por $\vert\alpha\vert$ . Entonces, la función de distribución de probabilidad acumulada de $Z$ es $$ F_Z(z) = P\{Z \leq z\} = P\{\alpha X + \beta Y \leq z\} = \int\int_{\alpha x + \beta y \leq z} \phi(x)\phi(y) dx dy $$ donde $\phi(\cdot)$ es la función de densidad gaussiana unitaria. Pero, como el integrando $(2\pi)^{-1}\exp(-(x^2 + y^2)/2)$ tiene simetría circular, el valor de la integral depende sólo de la distancia del origen a la línea $\alpha x + \beta y = z$ . En efecto, mediante una rotación de coordenadas, podemos escribir la integral como $$ F_Z(z) = \int_{x=-\infty}^d \int_{y=-\infty}^{\infty}\phi(x)\phi(y) dx dy = \Phi(d) $$ donde $\Phi(\cdot)$ es la función de distribución acumulativa gaussiana estándar. Pero, $$d = \frac{z}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}$$ y por tanto la función de distribución acumulativa de $Z$ es la de una variable aleatoria gaussiana de media cero con varianza $\alpha^2 + \beta^2$ .

Answer 2

Publiqué lo siguiente en respuesta a una pregunta que se cerró como un duplicado de esta:

Por tu comentario parece que el sentido de tu pregunta es diferente al que yo pensaba en un principio. Mi primera respuesta suponía que sabías que la suma de normales independientes es en sí misma normal.

Usted tiene $$ \exp\left(-\frac12 \left(\frac{x}{\alpha}\right)^2 \right) \exp\left(-\frac12 \left(\frac{z-x}{\beta}\right)^2 \right) = \exp\left(-\frac12 \left( \frac{\beta^2x^2 + \alpha^2(z-x)^2}{\alpha^2\beta^2} \right) \right). $$ Entonces el numerador es $$ \begin{align} & (\alpha^2+\beta^2)x^2 - 2\alpha^2 xz + \alpha^2 z^2 \\ \\ = {} & (\alpha^2+\beta^2)\left(x^2 - 2\frac{\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2} xz\right) + \alpha^2 z^2 \\ \\ = {} & (\alpha^2+\beta^2)\left(x^2 - 2\frac{\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2} xz + \frac{\alpha^4}{(\alpha^2+\beta^2)^2}z^2\right) + \alpha^2 z^2 - \frac{\alpha^4}{\alpha^2+\beta^2}z^2 \\ \\ = {} & (\alpha^2+\beta^2)\left(x - \frac{\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2}z\right)^2 + \alpha^2 z^2 - \frac{\alpha^4}{\alpha^2+\beta^2}z^2, \end{align} $$ y luego recuerda que todavía tienes la $-1/2$ y el $\alpha^2\beta^2$ en el denominador, todo dentro de la función "exp".

(Lo que se hizo anteriormente es completando el cuadrado .)

El factor de $\exp\left(\text{a function of }z\right)$ no depende de $x$ y por lo tanto es una "constante" que se puede sacar de la integral.

La integral restante no depende de " $z$ " por una razón que veremos más adelante, y así pasa a formar parte de la constante de normalización.

Si $f$ es cualquier función de densidad de probabilidad, entonces $$ \int_{-\infty}^\infty f(x - \text{something}) \; dx $$ no depende de "algo", porque se puede escribir $u=x-\text{something}$ y luego $du=dx$ y los límites de la integración siguen siendo $-\infty$ y $+\infty$ por lo que la integral es igual a $1$ .

Ahora mira $$ \alpha^2z^2 - \frac{\alpha^4}{\alpha^2+\beta^2} z^2 = \frac{z^2}{\frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\alpha^2}}. $$

Esto debía ser dividido por $\alpha^2\beta^2$ , dando lugar a $$ \frac{z^2}{\alpha^2+\beta^2}=\left(\frac{z}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2. $$ Así que la densidad es $$ (\text{constant})\cdot \exp\left( -\frac12 \left(\frac{z}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2 \right) . $$ Donde la desviación estándar pertenece ahora tenemos $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ .

Answer 3

No sé cómo se me pasó eso, la verdad:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables
¡Gracias Kaestur Hakarl!