Estoy tratando de encontrar la inversa de a $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$. Mi libro de texto dice $f^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$, pero no he sido capaz de obtener la respuesta. Conmutación $x$$y$, traté de solucionar $y$ un par de maneras diferentes, con un éxito limitado. Al principio, traté de:
$$x=\frac{e^y e^{-y}}{2}\\ 2x=e^y e^{-y}\\ 2x=e^{-y} e^{2y}-1)\\ \ln(2x)=\ln(e^{-y} e^{2y}-1))\\ \ln(2x)=\ln(e^{-y})+\ln(e^{2y}-1)\\ \ln(2x)=-y+\ln(e^{2y}-1)\\ \ln(2x)=-y+\ln((e^y-1)(e^y+1))\\ \ln(2x)=-y+\ln(e^y-1)+\ln(e^y+1)$$
Yo no puedo ver nada más que pudiera hacer con eso. También probé el cuadrado ambos lados de la espalda en esa primera línea, pero me llevan a un callejón sin salida. La única cosa que parecía producir una respuesta fue:
$$x=\frac{e^y e^{-y}}{2}\\ 2x=e^y e^{-y}\\ 2x=e^y-\frac{1}{e^y}\\ 2x=\frac{e^{2y}-1}{e^y}\\ 2xe^y=e^{2y}-1\\ 0=e^{2y}-2xe^y-1\\ (e^y)^2-2x(e^y)-1=0$$ Entonces, la ecuación cuadrática de los rendimientos, $$e^y=\frac{2x\pm \sqrt{4+4}}{2}=\frac{2x\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ e^y=x\pm \sqrt{2}\\ y=\ln(x\pm \sqrt{2})$$
No estoy seguro de qué hacer acerca de la $\pm$. Me imagino que sería eliminado para hacer que el dominio de $f^{-1}$ coincide con el rango de $f$, pero no estoy seguro de cómo determinar qué (en realidad, el libro de texto dice que los dominios y los rangos de ambas $f$$f^{-1}$$(-\infty ,\infty)$. Lo que es más importante, el libro de la respuesta, $f^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ no coincide con la mía! Ayuda! :)
