Demuestre que$-3$ es un residuo cuadrático mod un primo primo$>3$ si y solo si$p$ es de la forma de$6n+1$

Question

¿Cómo probaría que$-3$ es un residuo cuadrático mod un primo impar más grande que$3$ si y sólo si$p$ es de la forma de$6n+1$?

La última cosa que cubrimos en clase anoche fue el criterio de Euler donde tiene un residuo cuadrático si$a^{(p-1)/2}\equiv -1\pmod p$.

Creo que podría haber estado pensando que estaba más lejos de lo que hizo? Simplemente no sé a dónde ir de esto.

Answer 1

Recuerde la fórmula para el símbolo de Legendre:$$\left(\frac{a}{p}\right) = a^{\frac{p - 1}{2}} \pmod p.$ $

Si$p = 6n + 1$, entonces$$\alpha = \frac{6n + 1 - 1}{2} = 3n$$ and $ (- 3) ^ \ alpha = 1 \ pmod p $.

Sin embargo, si$p = 6n - 1$, entonces$$\alpha = \frac{6n - 1 - 1}{2} = 3n - 1$$ and consequently $ (- 3) ^ \ alpha = -1 \ pmod p $.

Answer 2

Sea$g$ una raíz primitiva modulo$p$. Si$p=6n+1$, considere$a\equiv g^{2n}$. Demuestre que (i)$a\not\equiv 1\pmod p$, (ii)$a^3\equiv1\pmod p$, (iii)$a+a^2\equiv-1\pmod p$, (iv)$(a-a^2)^2\equiv -3\pmod p$.

Por otro lado, si$b^2\equiv-3\pmod p$, muestra (i) que$2c\equiv-1+b\pmod p$ tiene una solución, (ii)$c\not\equiv1\pmod p$, $c^3\equiv1\pmod p$.