Límite de series que incluían a razón de dos factoriales

Question

$$ \sum^{\infty}_{j=0} \frac{(j!)^2}{(2j)!} = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{27}+\frac{4}{3} $$

La de arriba es la serie en una hoja de tarea. No estamos esperaba encontrar el límite, sólo demostrar su convergencia. Eso es fácil, pero desde que nos dieron el límite, me puse a pensar acerca de cómo encontrar un límite.

Si alguien pudiera me apunte en la dirección correcta, yo estaría encantado de descubrir por mi cuenta, pero después de un par de horas de búsqueda, no me siento mucho más cerca.

Answer 1

Tratando de darles algo más simple...

Euler encontró siguiente desarrollo para $\arcsin(x)$ : $$f(x):=2\arcsin(x)^2=\sum_{n=1}^\infty \frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}$$ con $\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$ una central de coeficiente binomial (ver demasiado $(8)$ no).

Calcular la derivada $f'(x)$ para obtener : $$f'(x):=4\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}=4\sum_{n=1}^\infty \frac{(2x)^{2n-1}}{n\binom{2n}{n}}$$ Multiplicar por $x$ y calcular la derivada de nuevo : $$(xf'(x))':=4\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}-4\frac x{x^2-1}+4\frac{x^2\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}^3}=8\sum_{n=1}^\infty \frac{(2x)^{2n-1}}{\binom{2n}{n}}$$

reemplace $x$ $\frac 12$ (de modo que $2x=1$ a la derecha) para obtener (dividiendo por $8$) : $$\frac{4\sqrt{3}\,\arcsin\left(\frac 12\right)}{9}+\frac 13=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{\binom{2n}{n}}$$ El uso de $\arcsin(1/2)=\frac{\pi}6$ y añadir el $n=0$ término en el derecho ($1$) a la conclusión de que : $$\boxed{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac 1{\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi\sqrt{3}}{27}+\frac 43}$$

Answer 2

Observe que: $$ \frac{j!^2}{(2j)!} = (2j+1) \operatorname{Beta}(j+1,j+1) = (2j+1) \int_0^1 t^j (1-t)^j \mathrm{d}t $$ Ahora, intercambiando la suma y la integración: $$ \sum_{j=0}^\infty \frac{j!^2}{(2j)!} = \int_0^1 \sum_{j=0}^\infty (2j+1)(t(1-t))^j \mathrm{d} t = \int_0^1 \frac{1+t(1-t)}{(1-t(1-t))^2} \mathrm{d} t $$ La última integral se evalúa la integración por partes y la reducción de la tabla de integrales: $$ \int_0^1 \frac{1+t(1-t)}{(1-t(1-t))^2} \mathrm{d} t = \left[ \frac{2}{3} \frac{2t-1}{1-t+t^2} + \frac{2}{3 \sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}} \right) \right]_{t=0}^{t=1} =2 \left(\frac{2}{3} + \frac{\pi}{9 \sqrt{3}}\right) $$ Esto establece el resultado.

Alternativamente, usted podría tomar nota de que el sumando $c_j$ es un hipergeométrica plazo, lo que significa que la proporción de términos sucesivos es una función racional de $j$ $$ \frac{c_{j+1}}{c_j} = \frac{j+1}{4j+2} = \frac{(j+1)(j+1)}{j+\frac{1}{2}} \frac{1}{4} \frac{1}{j+1} $$ lo que significa que la suma corresponde a la definición de la serie de la función hipergeométrica de Gauss: $$\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^\infty \frac{j! \cdot j!}{(2j)!} &=& \sum_{j=0}^\infty \frac{(1)_j (1)_j}{\left(\frac{1}{2}\right)_j} \frac{(1/4)^j}{j!} = {}_2F_1\left(\left.\begin{array}{cc} 1 & 1\\ & \frac{1}{2} \end{array} \right| \frac{1}{4}\right) \\ &=& \left.\frac{1}{1-z} \left(1 + \sqrt{\frac{z}{1-z}} \arcsin\sqrt{z}\right)\right|_{z=1/4} = \frac{4}{3} + \frac{2 \pi}{9 \sqrt{3}} \end{eqnarray} $$

Answer 3

He aquí un método alternativo que lo leí en algún sitio (no recuerdo la fuente):

Calculamos la generación de la función$f(x)$$a_j=\frac{4^j}{\binom{2j}{j}}$.

Tenga en cuenta que $a_0=1, a_1=2$, e $(2j+1)a_{j+1}=2(j+1)a_j$, lo $2(j+1)a_{j+1}-a_{j+1}=2ja_j+2a_j$.

Por lo tanto $2f'(x)-\frac{f(x)-1}{x}=2xf'(x)+2f(x)$, lo $2x(1-x)f'(x)-(1+2x)f(x)+1=0$

La solución de la ecuación diferencial con la restricción $f(0)=a_0=1, f'(0)=a_1=2$, obtenemos $f(x)=\frac{1}{1-x}(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+1)$.

Para obtener la necesaria suma, ahora sustituimos $x=\frac{1}{4}$, dando $\frac{2\pi\sqrt{3}}{27}+\frac{4}{3}$.

Answer 4

Ok, por lo $$\int_0^1x^k(1-x)^kdx=\dfrac{(k!)^2}{(2k+1)!}$$ Para una prueba de referencia,una Buena manera de integrar la $\int_0^1 x^{k+1} (1-x)^k dx$?

Deje $y= 1-x$ $$\sum_{k=0}^{\infty}=\dfrac{(k!)^2}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty(2k+1)\int_0^1(xy)^kdx=\int_0^1\dfrac{1}{1-xy}dx+\int_0^1\dfrac{2xy}{(1-xy)^2}dx$$ Este es intercambiando el orden de la suma y la integración y, a continuación, utilizando la fórmula para la serie geométrica y relacionados con la serie. La evaluación de estos podemos obtener la respuesta.