¿La derivada n de una transición suave tiene que tener más de n+1 raíces para algún n?

Question

Me pregunto si el espacio $$S=\left\{f\in C^{\infty}([0,1])\ \ :\ \ f(0)=0\bigwedge f(1)=1\bigwedge\forall n\in\mathbb{N},\ f^{(n)}(0)=f^{(n)}(1)=0\right\}$$ contiene un elemento $f_0$ tal que $f_0^{(n)}$ tiene como máximo $n+1$ raíces para todos $n\in\mathbb{N}_0$ .

Intuitivamente me inclino a pensar que es falso. ¿Alguien sabe si esto es cierto, o cómo debo proceder para averiguarlo?

Si $f_0^{(n)}$ tiene $n+1$ raíces, entonces por el teorema del valor medio $f_0^{(n+1)}$ tiene $n$ raíces distintas en el interior del soporte además de que los puntos de la frontera sean raíces. Por tanto, por inducción $f_0^{(n)}$ debe tener $n+1$ raíces para todos $n\in\mathbb{N}$ .

En cuanto a si el límite inferior no es estricto, creo que tal vez el camino a seguir es asumir que $(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ es una secuencia con $a_i \in S$ y $a_i^{(i)}$ teniendo como máximo $i+1$ raíces. Porque si esas propiedades implican que no todas las derivadas de $a_i$ permanecen acotados como $i\to\infty$ entonces ninguna de estas secuencias puede tener un elemento de $S$ como límite, por lo que el límite inferior debe ser estricto.

Hice algunos experimentos numéricos con programas lineales que indicaron la existencia de tal secuencia donde también $\sup_x a_i^{(1)}(x)<2$ . Así que hay que considerar varias derivadas simultáneamente.

Answer 1

Supongo que la respuesta a su pregunta es sí y mi candidato para una función sería el siguiente Trabajemos en el intervalo $[-1,1]$ y considerar la función de golpeo $$ \psi(x) = \exp\left(\frac {-1}{1-x^2} \right)\,.$$ Entonces todas las derivadas en los puntos finales desaparecen, $$ \psi^{(n)}(-1) = \psi^{(n)}(1) = 0\,.$$ Ahora defina $$ f(x) = a \int_{-1}^x \psi(y) \,dy\,,$$ y elija $a \in \mathbb R$ tal que $f(1) = 1$ .

Para demostrar sus propiedades requeridas uno necesitaría expresiones explícitas para las derivadas de $\psi$ que implican polinomios de alto grado. Creo que intuitivamente $\psi$ y sus derivados no tienen más raíces que las necesarias, pero no he comprobado los detalles.