Respuestas diferentes usando diferentes métodos

Question

Me topé con esta integral $$\int_0^{2\pi} \frac{4ie^{i\theta}}{4e^{i\theta}} d\theta$ $. Ahora si si lo hace con la fórmula $$\int\frac{f'(x)}{f(x)} dx=ln|f(x)|+C$$ then i have $$=ln|4e^{2\pi i}|-ln|4e^{(0) i}|$$ $$=ln|4|-ln|4|$$ $% $ $=0$pero si cancelo $4e^{i\theta}$ y luego me quedo con $\theta$. Y los resultados de la integración en $$=[\theta]_0^{2\pi}$$ $% $$=2\pi i$. Sé que hay algo mal. Por favor ayuda...

Answer 1

Usted realmente necesita el complejo de logaritmo para su primer acercamiento. Tomando el módulo de $f(x)$ $\ln|f(x)|$ produce el error - para los números complejos $z$,$\ln(z)' = \frac 1z$, esto es lo que usted desea utilizar - sin módulo allí! Sin embargo, uno tiene que ser cuidadoso: El $\ln$ aquí está el complejo de logaritmo, que es bastante complicado por su propia cuenta.

Con el fin de entender los problemas con el complejo logaritmo correctamente, vamos a echar un vistazo más de cerca: Considerar la compleja número $z = e^{i\theta}$. Se podría decir que el $\ln(z) = i\theta$. Pero ahora también tenemos $z = e^{i\theta +2i\pi}$. Ahora $\ln(z) = i\theta +2i\pi$! Usted obtener countably muchas posibilidades para el logaritmo. Por eso se suele especificar que la 'opción' de que usted escoja para el logaritmo es lo que se llama una 'sucursal'. Una vez que usted escoge una rama, tienes que tener cuidado ya que la rama se tiene una discontinuidad a lo largo de una línea que comienza desde el origen - esto es donde se 'cortan' particular rama del logaritmo. Ver Wikipedia para una discusión detallada de esta propiedad.

Con el fin de remediar el primer enfoque en su pregunta, que especifiquemos que $\ln$ es la rama de asignación tal que para $z\in\mathbb C\setminus\{0\}$ tenemos $\ln z = \ln|z| + i\arg(z)$, e $\arg(z)\in[0,2\pi)$ (que es una especificación hacemos), y el logaritmo del módulo es sólo el clásico, real logaritmo. (Algo así como que siempre debe ser especificado antes de trabajar con un complejo de logaritmo, con el fin de evitar la confusión!)

Entonces $$\int_0^{2\pi}\frac{ie^{ix}}{e^{ix}} d x = \int_0^{2\pi} (\ln e^{ix})' d x = \int_0^{2\pi} (ix)' d x = i\int_0^{2\pi} 1 d x =2i\pi.$$

En el primer paso hemos utilizado que en $\mathbb C\setminus \mathbb R_0^+$ tenemos $\ln(z)' = \frac 1z$. Tenga en cuenta que en el segundo paso hemos utilizado nuestra especificación del logaritmo de la sucursal. Usted también podría usar otra rama, pero tienes que tener cuidado de escoger de una manera que la integración de la ruta no pasa por la rama de corte (es decir, la discontinuidad).

Answer 2

Appearantly se está integrando la siguiente función

$$\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz$$

donde tenemos $\gamma$ es un círculo con un radio igual a 4 y el centro en el origen . Ahora esta función no tiene anti derivado en un nbhd de cero, porque de el punto de ramificación.

Otro error es asumir que la integral es igual a cero debido a que la función es analítica en un contorno cerrado que no es el caso aquí. Tenemos un polo a cero. Por el teorema de los residuos que hemos

$$\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz = 2\pi i \, \mathrm{Res}(f,0) = 2\pi i $$

Ahora usando la parametrización $z = 4e^{i\theta}$

$$\int_{0}^{2\pi}\frac{4ie^{i\theta}}{4e^{i\theta}}dz = 2\pi i $$

Answer 3

ps