Conjetura: Cualquier unidad de un conjunto de matrices en un anillo conmutativo con identidad tiene una solución para Ax = b y a la inversa

Question

Conjetura: Dado un $M(R)$ el conjunto de matrices en un anillo conmutativo con identidad, $R$, una matriz de $A$ $M(R)$ es una unidad si y sólo si para cualquier vector $b$ existe un vector $x$ tal que $Ax = b$.

Me han conjeturado que la declaración anterior, y podría demostrar el avance implicación;

Si $A$ es una unidad, $A^{-1}$ existe tal que $AA^{-1} = I.$ Para cualquier $b$, $Ib = b$. A continuación,$(AA^{-1})b = b$. A continuación,$A(A^{-1}b) = b$.

Ahora supongamos que para cualquier $b$ existe $x$ tal que $Ax = b$. Tome $e_1, ... e_n$, la unidad de vectores de $I$. a continuación, $AB = I$ existe.

Sin embargo, no soy capaz de mostrar $AB = I$ implica $BA = I$, debido a la existencia de $B$ tal que $BA = I$ no garantiza la existencia de $C$ tal que $CA = I$. Si C existe, el resultado es inmediato.

Es la conjetura es verdadera, o ¿existe un contraejemplo?

Answer 1

Una matriz en $M(R)$ es inversible si y solamente si su determinante es una unidad de $R$. (Argumento por ejemplo aquí). Si $AB=I$, obtenemos de $$1=\det(I)=\det(AB)=\det(A)\det(B)$$ that $\det (A) $ is a unit of $R $, so $A $ is invertible and so there is a matix $C $ with $ CA = I$.