$P_n(x,y)$ denotan el espacio del vector de polinomios con grado menor igual a $n $, entonces el $\dim (P_n(x,y))=\frac{(n+1)(n+2)}{2!}$

Question

$P_n(x,y)$ denotan el espacio del vector de polinomios con grado menor igual a $n $, entonces el $\dim (P_n(x,y))=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2!}$

¿Cómo viene esta respuesta?

Mi intento,

Total elementos base (de grado ${}=n)= n+1$

Total elementos base (de grado ${}=n-1)= n$

$\ldots$

Total elementos base (de grado ${}=1)= 2$.

Por lo tanto elementos base posible total ${}=\dfrac{((n+1)+1)(n+1)}{2}$

¿Tengo derecho?

Cómo generalizar la fórmula. Por favor explique.

Answer 1

En general, el espacio de polinomios en las variables de $k$ tener grado $\le n$ tiene la base:

$$\{x_1 ^{a_1} \cdots x_k^{a_k}: \sum_{i=1}^k a_i \le n\}$$

que es lo mismo que el conjunto:

$$\{1^{a_0} x_1^{a_1} \cdots x_k ^{a_k}: \sum_{i=0}^k a_i = n\}$$

Con estrellas y barras, la cardinalidad de este conjunto (de ahí la dimensionalidad del espacio del vector) es:

$${n + k \choose n}$$

Answer 2

Pista que tienes que encontrar los números de $x^iy^j$, $i+j\leq n$, $i=0$ usted tiene opciones de $n+1$ $j$,... para $i=n$ tienes una opción, así que en total tiene:

$$0+1+\cdots+n+1={{(n+1)(n+2)}\over 2}.$$

Answer 3

$$\begin{array}{cccccccc} & a_{0,0} & + & a_{0,1} x & + & a_{0,2} x^2 & + & a_{0,3} x^3 \\ & & & & & & \swarrow \\ + & a_{1,0} y & + & a_{1,1} xy & + & a_{1,2} xy^2 \\ & & & & \swarrow\\ + & a_{2,0} y^2 & + & a_{2,1}xy^2 \\ & & \swarrow \\ + & a_{3,0} y^2 \end{matriz} $$ las flechas unir términos de grado de $3.$

Otra secuencia diagonal de las flechas, paralelas a este, enlace términos de grado de $2.$

Y otro de los términos de grado de $1,$ sólo dos de los que en este caso.

Así que el número de coeficientes es el «número triangular» $1+2+3+4,$ y $4$ es a $1$ más que el grado.

En otras palabras, su razonamiento es correcto.

Answer 4

El polinomio univariado anillo de $k[x]$ tiene dimensión $n+1$ con base $\{1,x,\dots,x_n\}$.

Para cada uno de estos vectores de la base $x^i$, podemos multiplicar por $y^j$$j \leq n-i$.

Para la primera,$x^0$, esto es $n$ vectores (cualquier poder de la $y$),$x^1$, podemos mulyiply $n-1$ vectores, etc.

A partir de esto, tenemos que la dimensión es $\sum_{k=0}^{n+1} n-k=\sum_{k=0}^{n+1} k=(n+1) \cdot (n+2)/2$.

aquí es una generalización mediante estrellas y barras-- la idea básica es que sólo quiero averiguar cuántos de los diferentes monomials usted puede tener, de manera que la suma de sus exponentes ((total grado) está a menos de $n$