¿Hay algún método sencillo para calcular el $\sqrt x$ sin usar el logaritmo

Question

Supongamos que no sabemos logaritmo, entonces, ¿cómo íbamos a poder calcular los $\sqrt x$ donde $x$ es un número real? De manera más general, ¿hay algún algoritmo para calcular el $\sqrt [ n ]{ x } $ sin usar el logaritmo? Más simple de las técnicas iba a ser agradable.

Aquí es una simple técnica que se utiliza para aproximar raíces cuadradas por pérsico autor Hassan ser al-Hossein:

Por ejemplo: $\sqrt {78}\approx 8\frac { 14 }{ 17 } $ donde $8$ es el entero más cercano raíz de $78$, $14 = 78 - 8^2$, $17 = 2 \times 8 + 1$.

si $n=2^k$ podemos usar el método anterior.

Por ejemplo, para $k=2$ Permite calcular $\sqrt [ 4 ]{ 136 } $: $$\sqrt [ 4 ]{ 136 } =\sqrt { \sqrt { 136 } } \approx \sqrt { 11\frac { 136-{ 11 }^{ 2 } }{ 11\times 2+1 } } =\sqrt { 11\frac { 15 }{ 23 } } \\ \sqrt { 11\frac { 15 }{ 23 } } \approx 3\frac { 11\frac { 15 }{ 23 } -{ 3 }^{ 2 } }{ 3\times 2+1 } =\frac { 544 }{ 161 } =3.38\\$$ The exact result is$$ \sqrt [ 4 ]{ 136 } =3.4149\cdots$$ The method approximates well, but it is working for only $n=2^k$ que yo sé.

Answer 1

Para $y=\sqrt{x}$ existe un método simple: $$ $ y = 1 \qquad \text{inicializar} \\ y = (x/y+y)/2 \qquad \text{ repetir hasta la convergencia} $$ Puede ser modificado para que las raíces de órdenes superiores.

Answer 2

Hay una antigua dígito por dígito método que aprendí cuando estaba en la escuela. La teoría se explica aquí con una base de 10 ejemplo aquí, y muchos de los viejos libros de aritmética dar más detalles prácticos para llevar a cabo los cálculos de una manera sensata.

Tengo una muy antigua aritmética de los libros de texto que hace algo similar para el cubo de las raíces, pero se vuelve más tedioso, y nunca he visto nada para 5 de las raíces.

Answer 3

$$f(x)=\sqrt [ n ]{ x }\Rightarrow f'(x)=\frac {x^{(1/n-1)}}{n}$$ $$f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ $$\Rightarrow f(x_0+h)\approx f'(x_0)h+f(x_0)$$ Supongamos que se desea calcular el $f(x)=\sqrt [ 3 ]{ x }$ $x=7 $ tome $h=-1$ $x_0=8$ $$f(7)\approx f'(8)(-1)+f(8)\approx-\frac{1}{12}+2\approx\frac{23}{12}$$

Answer 4

La continuación de la fracción método funciona de la siguiente manera: Supongamos $x = a^2 + b$ donde $a = \lfloor \sqrt x \rfloor$. Entonces

$$ \begin{align} x &= \sqrt{a^2 + b}\\ x-a &= \sqrt{a^2 + b} - a\\ \frac{1}{x-a} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 + b} - a}\\ &= \frac{1}{\sqrt{a^2 + b} - a}\frac{\sqrt{a^2 + b} + a}{\sqrt{a^2 + b} + a}\\ &= \frac{\sqrt{a^2 + b} + a}{b}\\ &= \frac{x + a}{b} \end{align} $$

Sustituto, y obtener:

$$ \begin{align} x &= a + (x-a)\\ &= a + \frac{b}{a+x}\\ %= a + \frac{b}{2a+\frac{b}{a+x}}\\ x &= a+\cfrac{b}{2a+\cfrac{b}{2a+\cfrac{b}{2a + \dots}}} \end{align} $$

Ahora, esto no es una simple continuación de la fracción. Sin embargo, si uno divide el numerador y el denominador de $\frac{b}{2a+x}$$b$, entonces uno puede eventualmente llegar a un periódico simple continuación de la fracción, y uno se aproxima por la convergents. La expresión anterior resulta ser más rápido.

Answer 5

Si $x$ es un número entero, entonces usted puede encontrar la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt x$ y llegar muy cerca de aproximaciones con ninguna división involucrados. Si desea 6 lugares de precisión, por ejemplo, continuar hasta llegar convergente con denominador $>1000$.