En la circunferencia $x^2+y^2=1$ se elige al azar (de manera uniforme e independiente) $3$ puntos. Estos puntos dividen la circunferencia, formando $3$ arcos.
¿Cuál es el valor esperado de la longitud del arco que contiene el punto $(1,0)$ ?
¿Hay alguna forma rápida de resolver esto? Ya he utilizado algunas simetrías pero me parece demasiado complejo. (Se supone que es un ejercicio fácil, así que quizás haya que tener en cuenta alguna cosa inteligente).
Una pista:
Si cambias la pregunta por:
" Elegir al azar (de manera uniforme e independiente) $4$ puntos para que haya $4$ arcos. ¿Cuál es la suma de las longitudes esperadas de los dos arcos que limitan con (por ejemplo) el primer punto elegido?"
entonces no hay ninguna diferencia esencial con la pregunta original.
Para entender que ser consciente de la elección "casual" para $(0,1)$ . ¿Por qué no un punto elegido al azar aquí? Eso no cambiaría las cosas, ¿verdad?
Este enfoque llevará fácilmente a $\pi$ como respuesta en base a la linealidad de la expectativa y la simetría.
Se puede modelar en el intervalo $[0,2\pi)$ y fijar el punto $(1,0)$ igual a $0$ en este intervalo. Entonces dibujamos 3 variables uniformes y nos interesa la suma de la longitud por debajo del dibujo mínimo y la longitud por encima del dibujo máximo, es decir, el valor $X_{min} + 2\pi - X_{max}$ . Para el mínimo y el máximo de $n$ variables uniformes tenemos \begin {align} E(X_{min}) &= 2 \pi\frac {1}{n+1} \\ E(X_{max}) &= 2 \pi\frac {n}{n+1}. \end {align} Por lo tanto, nuestra longitud de arco total esperada es igual a $$ 2\pi\frac{1}{4} + 2\pi - 2\pi\frac{3}{4} = 2\pi(1/4+1-3/4) = \pi. $$
Pista: Suma la distancia esperada al primer punto en el sentido de las agujas del reloj a la distancia esperada al primer punto en el sentido contrario. Ahora lo hemos reducido al valor esperado del mayor y menor de tres números uniformemente aleatorios en el intervalo $[0,2\pi]$ . En concreto, a la longitud del primero y del último de los cuatro segmentos del mismo intervalo que se obtiene de los tres puntos.
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