Si $p_1$ y $p_2$ son números primos, demostrar que existe un entero tal que $p_1+k$ es un primo pero no es $p_2+k$.

Question

Que $P_{1}$ $P_{2}$ ser primos. Demostrar que existe un $k\in \Bbb Z^+$ $P_{1} + k$ es una privilegiada pero $P_{2} + k$ no es que.

Parece que la prueba debe ser trivial, pero por alguna razón, no soy capaz de construir.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que el % de números $P_1+nP_2, n\in \mathbb N$están en progresión aritmética y contiene infinitamente muchos números primos (por Dirichlet). Así que elija $n\ge 1$ que hace de este un primer. $P_2+nP_2$ claramente no es primordial.

Answer 2

Aquí es más elemental que la cita de Dirichlet.

Supongamos $P_2\gt P_1$$P_2-P_1=d$. Si $P_3=P_1+k$ queremos $P_3+d=P_2+k$ a no ser una de las primeras.

Así que, dado que $d$ necesitamos encontrar un primer $P_3$ $P_3+d$ no de una prima.

Ahora sabemos que hay arbitrariamente grandes espacios entre los números primos por ejemplo, $n!+2, \dots n!+n$ da una diferencia de tamaño, al menos,$n-1$. (todos estos están compuestos por la construcción, por lo que el primer antes y después de que el primer tendrán una gran brecha)

Podemos optar $n\gt d+1$ aquí, así que no será un $P_3$ distancia mayor que $d$ desde el siguiente primo, y podemos elegir el $k$ a recoger esto.

Answer 3

Asumir wlog $p_1 < p_2$ y $p_1+k$ es el primer foro $p_2+k$ es primo. Conjunto de $z:=p_2-p_1$. Por inducción, $p_1+nz$ es primer de todos $n$. Esto es imposible ya que los números primos tienen densidad cero.

Answer 4

EDICIÓN: Mismo pero prueba significativamente limpios.

Supongo que esto no es cierto y que $p_2 > p_1$. Tendremos para $k=p_2-p_1$ $p_1 + k$ es prime, así $p_2 + k$ es primer. También tenemos $p_1 + (k+p_2-p_1)$ es primero, así $p_1 + 2\cdot(p_2-p_1)$ es primo. Continuando de esta manera que conseguimos que $p_1 + n\cdot(p_2-p_1)$ es primer de todos $n$, que no es posible.

Answer 5

Sugerencia: debemos asumir $P_1 \ne P_2$ para que esto sea cierto. Ahora, lo que se vería el mundo como si esto fuera falso? Bien, tome $d = |P_1 - P_2|$. Si esto fuera falso, ya sea para todos $x$ $x \ge P_1$ siendo el primer implica $x + d$ es también el primer, o para todos $x$ $x \ge P_2$ de NO ser el primer implica $x + d$ NO es también el primer. En cualquier caso, deduzca la absurda siguiente hecho:

• La función de $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, definido por $f(n) = 1$ si $n$ es el primer y $f(n) = 0$ lo contrario, es finalmente periódica con período de $d$.

A partir de aquí probablemente hay varias maneras de derivar una contradicción. Una idea: existen infinitos números primos, así que debe haber algo de $N$ tal que $N, N + d$, $N + 2d$, $N + 3d$, etc. son todos primos. Ahora coger $k$, de modo que $N + kd$ ciertamente no puede ser primo.