Racionalizar el denominador con raíces cuadradas y raíces del cubo

Question

En medio de la escuela de matemáticas, los profesores siempre te dicen que si tienes radicales en el denominador de una fracción, entonces no es apto para ser una respuesta final - usted tiene que racionalizar el denominador, o deshacerse de todos los radicales en el denominador moviéndolos a numerador.

Racionalizar el denominador es generalmente de muy fácil y se puede hacer rápidamente con su conjugado. Por ejemplo, considere la posibilidad de $$\frac{1}{2+\sqrt 2}$$ Este denominador puede ser fácilmente racionalizado mediante su conjugado: $$\frac{2-\sqrt 2}{(2+\sqrt 2)(2-\sqrt 2)}$$ $$\frac{2-\sqrt 2}{4-2}$$ $$\frac{2-\sqrt 2}{2}$$

Sin embargo, he tropezado con una nueva clase de denominador-la racionalización de los problemas que yo no puedo averiguar cómo resolver. Yo estaba completamente sorprendido cuando he tratado de racionalizar el denominador de esta fracción: $$\frac{1}{2+\sqrt 2+\sqrt[3]{2}}$$

¿Alguien puede averiguar cómo racionalizar esto? Es incluso posible?

O, más interesante, si alguien sospecha que es no es posible, ¿cómo puede uno probar algo como esto?

Answer 1

Sugerencia: para un acceso directo en este caso particular, que $a = 2+\sqrt{2}$ luego use:

$$ \frac{1}{a+\sqrt[3]{2}} = \frac{a^2-a\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{a^3+2} $$

El denominador ahora contiene solamente números enteros y los términos en $\sqrt{2}\,$ después de la expansión, como es el caso que saber racionalizar.

Answer 2

Siempre que sea posible.

Desea multiplicar parte superior e inferior por $M$ a conseguir ese $denominator*M$ no ha radical.

Como usted ha descubierto: Si el denominador es $a + b\sqrt{c}$ mulitply por el conjugado para obtener $(a + b\sqrt{c})(a - b\sqrt{c}) = a^2 - b^2*c$.

Esto también funciona con $(\sqrt a + \sqrt b)(\sqrt a - \sqrt b) = a - b$.

Así que es la misma idea de $a + \sqrt[k] b$. El truco es darse cuenta de que $(a + \sqrt[k]b)(a^{k-1} - a^{k-2}\sqrt[k]b + a^{k-3}(\sqrt[k]b)^2-..... \pm a(\sqrt[k]b)^{k-2} \mp (\sqrt[k]b)^{k-1} = a^k \pm b$.

Ejemplo: Para deradicalize $5 + \sqrt[3]7$ multiplicar por $5^2 - 5*\sqrt[3]7 + (\sqrt[3]7)^2$ conseguir $(5 + \sqrt[3]7)(5^2 - 5*\sqrt[3]7 + (\sqrt[3]7)^2) = 5^3 + 5^2\sqrt[3]7 -5^2\sqrt[3]7 - 5*(\sqrt[3]7)^2 + 5*(\sqrt[3]7)^2 + (\sqrt[3]7)^3 = 125 + 7$.

Así que para deradicalize $(2 + \sqrt 2 + \sqrt[3] 2)$ sólo deradicalize es término por término.

Primero vamos a deshacernos de la $\sqrt[3]2$ plazo. Así que multiplicamos arriba y abajo por la $(2+\sqrt 2)^2 - (2 +\sqrt 2)*\sqrt[3]2 + (\sqrt[3]2)^2$ conseguir $(2 + \sqrt 2 + \sqrt[3] 2)*[(2+\sqrt 2)^2 - (2 +\sqrt 2)*\sqrt[3]2 + (\sqrt[3]2)^2] = (2 + \sqrt 2)^3 + 2= 8 + 12 \sqrt 2 + 12\sqrt 2 + 2\sqrt 2 + 2 = 10 + 26\sqrt 2$. A continuación, multiplicamos eso por $10 - 26 \sqrt 2$ conseguir $(10 + 26\sqrt 2)(10 - 26\sqrt 2) = 100 - 2*26^2$.

Así por ejemplo:

\begin{align} &\frac 1 {2 + \sqrt 2 + \sqrt[3] 2} \\&= \frac {(2 + \sqrt 2)^2 - (2+\sqrt2)\sqrt[3]2 + \sqrt[3]2^2}{(2+\sqrt 2)^3 + 2}\\&= \frac {(4 + 4\sqrt 2 + 2) -2\sqrt[3] 2 - \sqrt 2\sqrt[3]2 + \sqrt[3]2^2}{10 + 26\sqrt 2}\\&= \frac {[(4 + 4\sqrt 2 + 2) -2\sqrt[3] 2 - \sqrt 2\sqrt[3]2 + \sqrt[3]2^2](10 - 26\sqrt{2})}{100 - 2*26^2} \end{align}

Bueno... hay que admitir que es un oso... pero es factible.

Answer 3

Existe un procedimiento general para este tipo de pregunta.

Se puede ver, en esencia, la racionalización de una fracción es el de convertir el denominador en una racional, derecho? Pero, de hecho, es un proceso más profundo : Supongamos que una fracción de la forma $\frac 1b$ puede ser racionalizado, decir por escrito en el formulario de $\frac cd$ donde $d$ es racional.

Cruz multiplicando, obtenemos $bc = d$, o que $b$ veces que algo es racional. Esto equivale a la invertibility del número de $b$ en el campo de los números reales, lo cual es cierto todo el tiempo. Así que cada fracción de este tipo es, de hecho, racionalizaba. Pero entonces la pregunta se reduce a cómo encontrar este inversa.

Una manera de encontrar la inversa es encontrar un polinomio con coeficientes racionales, que $b$ satisface. Voy a explicar por qué.

Supongamos $b$ satisface el polinomio $\sum_{i=0}^n a_ix^i = 0$. A continuación, $\sum_{i=0}^n a_ib^i = 0$, por lo que el $\sum_{i=1}^n a_ib^i = -a_0$, de donde se sigue que $b \left(\sum_{i=1}^n a_i b^{i-1}\right) = a_0$.

La reescritura, $$ \frac{1}{b} = \frac{\left(\sum_{i=1}^n a_i b^{i-1}\right)}{a_0} $$

que es la racionalizado forma.

Así que todo lo que necesitas hacer, es encontrar un polinomio que la surd, en nuestro caso $\sqrt 2 + \sqrt[3]2 + 2$ satisface.

El mínimo de dicho polinomio es $x^6 - 12 x^5 + 54 x^4 - 116 x^3 + 132 x^2 - 120 x + 92$, lo que he encontrado en internet. Hay una mejor respuesta anterior sobre cómo encontrar un polinomio, así que voy a evitar que parte, pero al menos esto demuestra que las fracciones con "algebraica" denominadores puede ser racionalizado mediante el polinomio que satisface.