En un problema mucho más grande, necesito resolver para $x_n$ la ecuación $$\sum_{i=0}^n (n+i)^{x_n}=(2n+1)^{x_n}$$ where $$ n puede ser grande.
Desde un punto de vista numérico, no tiene ninguna dificultad en la práctica de problemas en lugar de $$\log\left(\sum_{i=0}^n (n+i)^{x_n} \right)={x_n}\log(2n+1)$$, que es "casi" la búsqueda de la intersección de dos líneas rectas.
Mi primera sorpresa, trabajando con pequeños valores de $n$, fue el aviso de que la solución es casi linealmente dependiente de $n$.
Trabajar con grandes números, lo que he notado es la siguiente $$\left( \begin{array}{cc} n & \frac {x_n} n \\ 10^1 & 1.351611135 \\ 10^2 & 1.382828492 \\ 10^3 & 1.385947786 \\ 10^4 & 1.386259704 \end{array} \right)$$, y la proporción se "parece" a converger en algo.
Así que, mis preguntas :
- Podríamos demostrar la dependencia lineal de $x_n$$n$?
- Podríamos demostrar que $\frac {x_n} n$ tiende a un límite ?
- Si hay un límite, lo que podría ser este número ? En otras palabras, sería posible establecer la asymptotics de $x_n$ ?
Editar después de las respuestas
Después de la hermosa respuestas que he recibido de Profesor de Vectores y Raymond Manzoni (que hizo que el problema más general), he resuelto, por $n=10^4$, la ecuación$$\sum_{i=0}^n (n+i)^{x_n}=(2n+a)^{x_n}$$ In the table below are reproduced the results for the computed ratio $\frac {x_n} n$ and the value computed for $y_a=-2\log(b)$ where $b$ is the positive solution of $1-b=b^$. $$\left( \begin{array}{cc} a & \frac {x_n} n & y_a\\ 1 & 1.38626 &1.38629 \\ 2 & 0.96240 &0.96242 \\ 3 & 0.76448 &0.76449 \\ 4 & 0.64457 &0.64457 \\ 5 & 0.56240 &0.56240 \\ 6 & 0.50184 &0.50183 \\ 7 & 0.45496 &0.45495 \\ 8 & 0.41739 &0.41737 \\ 9 & 0.38646 &0.38644 \end{array} \right)$$
En relación con el caso donde $a=1$, es interesante comparar los resultados que me dio con la asymptotics Raymond Manzoni dio en un comentario. $$\frac {x_n} n=2\log(2)-\frac{\log(2)}{2n}+O\left(\frac 1 {n^2} \right)$$ $$\left( \begin{array}{cc} n & \frac {x_n} n &2\log(2)-\frac{\log(2)}{2n}\\ 10^1 & 1.351611135 &1.351637002\\ 10^2 & 1.382828492 &1.382828625\\ 10^3 & 1.385947786 &1.385947788\\ 10^4 & 1.386259704 &1.386259704 \end{array} \right)$$ No creo que yo podría añadir cualquier comentario !