Nudos de los límites de las tiras de Möbius

Question

Una tira de Möbius con medio giro tiene el unknot como su límite. Uno con dos media vueltas tiene un enlace de dos unknots. Uno con tres giros de media tiene el nudo de trébol como su límite.

Hace años, recuerdo oír más acerca de esto. ¿Alguien sabe de cualquier recursos o teoremas o cualquier cosa referente a esta idea? (Especialmente que obtienes desde el límite de un Möbius de nudos y enlaces tira con giros medio k?)

Answer 1

Esta respuesta va a ser menos útil que me sería de desear, porque no tengo una referencia. Pero por lo menos puedo decirle a usted la respuesta.

Estos nudos son claramente todos los elementos de la trenza grupo en dos capítulos, llamado $B_2$. Elementos de $B_n$ son generados por tomar $n$ hebras separadas, la conmutación de los lugares de uno de los extremos de cada un par de hilos, sin cambiar los otros extremos,por lo tanto la mitad-torsión de los dos hilos a la vez. El grupo $B_2$ en los dos capítulos es particularmente simple: es isomorfo a los enteros. Podemos identificar sus elementos, diciendo que se entero que corresponde. Esto es simplemente el número de $k$ de media giros de las dos hebras, que es el mismo que el número de medios giros de su franja. (O en el caso de negativa $k$, la mitad-giros en la otra dirección.)

Si usted toma una tira y se dará $k$ media giros antes de pegar los bordes, el resultado es un nudo con un componente si $k$ es impar, dos componentes de la si $k$ es incluso.

Al $k$ es impar, el nudo es un unknot al $k=1$, un trébol al $k=3$, un cinquefoil al $k=5$, y así sucesivamente. Nudo anotaciones suelen expresar la estructura común de esta familia de nudos. Por ejemplo, en Conway notación estas son las $[1], [3], [5], [7],\ldots$. Todos ellos están toro nudos (lo que significa que puede ser incrustado en un toro) y en el especial de toro nudo de la notación que se escriben $(2, k)$.

Al $k$ es incluso el borde de la forma dos círculos entrelazados, vinculado $\frac k2$ veces. (O en el trivial $k=0$ caso de dos desvinculado de los círculos.) Para $k=2$ este es el Hopf enlace, dos círculos enlazados en la forma más sencilla posible, y para $k=4$ a veces se llama de Salomón nudo, como el de Hopf enlace excepto vinculado $\left(\frac k2=2\right)$ dos veces en lugar de una vez.

Estos son también torus nudos, de nuevo escrita $(2,k)$ en el especial de toro nudo de la notación. Hay un teorema de toro nudos que $(a,b)$ tiene un solo componente exactamente al $a$ $b$ son relativamente primos, por lo que para su familia de nudos, no hay un solo componente exactamente al $k$ es relativamente primer a $2$; que es al $k$ es impar.

También valdría la pena señalar que el nudo de los bordes es exactamente lo que determina el comportamiento cuando se corte la tira por la mitad. En el corte de una sola mitad-twist) y la cinta de Moebius por la mitad famoso produce una sola tira, porque el borde es una sola unknot. Corte un doble-mitad-twist tira hacia abajo el medio produce dos vinculado tiras, porque el límite es el de Hopf enlace. Corte tres de medio giro de la tira que produce una sola tira atado en un nudo de trébol.

Espero que esta colección de miscellanea contiene algo útil. Yo sugiero que busque en la trenza de grupos, porque la trenza concepto de grupo corresponde exactamente a lo que usted quiere ver en: ¿qué pasa si usted toma $n=2$ hebras separadas y cruz exactamente $k$ veces antes de unirse a los extremos juntos.

Answer 2

No es un invariante llamado el crosscap número, $cc(K)$, el cual es definido al igual que el género de un nudo, pero para los no-orientable superficies. Específicamente, para cualquier no-orientable superficie $S$ delimitada por $K$, tomamos el mínimo de $1-\chi(S)$ sobre tales superficies. Desde la página que he enlazado,

"Si un nodo es de crosscap número 1, entonces los límites de una banda de Möbius, y por lo tanto es un $(2,n)$-toro nudo, o tiene un compañero, y por lo tanto no es hiperbólico."

Espero que esto ayude. Quiero saber si hay algo más que usted estaba buscando.