¿Cómo solucionarlo?

Question

Cómo podríamos solucionar esta ecuación diferencial $$y(y'+3)=ax^2+bx+c, \quad a,b,c \in \mathbb{R}$ $

Realmente no sé cómo empezar. No estoy familiarizado con este tipo de ecuaciones diferenciales (sé que es no-lineal orden del puño, pero no veo forma de solucionarlo).

Pasé este examen, así que esto es sólo por diversión (no tareas o algo por el estilo).

Gracias.

Answer 1

Caso $1$: $a=b=c=0$

A continuación, $y(y'+3)=0$

$y=0$ o $y'=-3$

$y=0$ o $C-3x$

Caso $2$: $a=b=0$ y $c\neq0$

A continuación, $y(y'+3)=c$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{c}{y}-3$

$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y}{c-3y}$

$x=\int\dfrac{y}{c-3y}dy$

$x=C-\dfrac{y}{3}-\dfrac{c\ln(3y-c)}{9}$

Caso $3$: $a=c=0$ y $b\neq0$

A continuación, $y(y'+3)=bx$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{bx}{y}-3$

Deje $y=xu$ ,

A continuación, $\dfrac{dy}{dx}=x\dfrac{du}{dx}+u$

$\therefore x\dfrac{du}{dx}+u=\dfrac{b}{u}-3$

$x\dfrac{du}{dx}=\dfrac{b}{u}-3-u$

$\dfrac{u}{b-3u-u^2}du=\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{u}{b-3u-u^2}du=\int\dfrac{dx}{x}$

$\begin{cases}-\dfrac{\ln(u^2+3u-b)}{2}-\dfrac{3}{\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{2u+3}{\sqrt{4b+9}}=\ln x+C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\-\ln(2u+3)-\dfrac{3}{2u+3}=\ln x+C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

$\begin{cases}-\dfrac{\ln\biggl(\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{3y}{x}-b\biggr)}{2}-\dfrac{3}{\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{\dfrac{2y}{x}+3}{\sqrt{4b+9}}=\ln x+C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\-\ln\left(\dfrac{2y}{x}+3\right)-\dfrac{3}{\dfrac{2y}{x}+3}=\ln x+C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{y^2+3xy-bx^2}{x^2}-\dfrac{3}{\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{3x+2y}{\sqrt{4b+9}~x}=\ln x+C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\-\ln\dfrac{3x+2y}{x}-\dfrac{3x}{3x+2y}=\ln x+C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

$\begin{cases}\dfrac{\ln(y^2+3xy-bx^2)}{2}+\dfrac{3}{\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{3x+2y}{\sqrt{4b+9}~x}=C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\\ln(3x+2y)+\dfrac{3x}{3x+2y}=C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

Caso $4$: $a=0$ y $b\neq0$ $c\neq0$

A continuación, $y(y'+3)=bx+c$

$y\dfrac{dy}{dx}+3y=bx+c$

$y\dfrac{dy}{dx}=-3y+bx+c$

Esto pertenece a un Abel ecuación de la segunda clase.

De hecho, todos los Abel la ecuación de la segunda clase puede ser transformado en Abel ecuación de la primera clase.

Deje $y=\dfrac{1}{u}$,

A continuación, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx}$

$\therefore-\dfrac{1}{u^3}\dfrac{du}{dx}=-\dfrac{3}{u}+bx+c$

$\dfrac{du}{dx}=-(bx+c)u^3+3u^2$

Comprobar si esta ODA satisfacer el caso especial en http://www.ae.illinois.edu/lndvl/Publications/2002_IJND.pdf#page=5:

$\left(\dfrac{-bx-c}{3}\right)'=-\dfrac{b}{3}=\lambda$

$\therefore$ satisfacer el caso especial en http://www.ae.illinois.edu/lndvl/Publications/2002_IJND.pdf#page=5

Deje $u=-\dfrac{3v}{bx+c}$ ,

A continuación, $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{3bv}{(bx+c)^2}-\dfrac{3}{bx+c}\dfrac{dv}{dx}$

$\therefore\dfrac{3bv}{(bx+c)^2}-\dfrac{3}{bx+c}\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{27v^3}{(bx+c)^2}+\dfrac{27v^2}{(bx+c)^2}$

$\dfrac{3}{bx+c}\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{3bv-27v^2-27v^3}{(bx+c)^2}$

$\dfrac{dv}{v(b-9v-9v^2)}=\dfrac{dx}{bx+c}$

$\int\dfrac{dv}{v(b-9v-9v^2)}=\int\dfrac{dx}{bx+c}$

$\begin{cases}\dfrac{\ln v}{b}-\dfrac{\ln(9v^2+9v-b)}{2b}+\dfrac{3}{b\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{6v+3}{\sqrt{4b+9}}=\dfrac{\ln(bx+c)}{b}+C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\-\dfrac{4\ln v}{9}+\dfrac{4\ln(2v+1)}{9}-\dfrac{4}{9(2v+1)}=-\dfrac{4\ln(9x-4c)}{9}+C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

$\begin{cases}\ln\biggl(-\dfrac{(bx+c)u}{3}\biggr)-\dfrac{\ln((bx+c)^2u^2-3(bx+c)u-b)}{2}+\dfrac{3}{\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{-2(bx+c)u+3}{\sqrt{4b+9}}=\ln(bx+c)+C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\\ln\dfrac{(9x-4c)u}{12}-\ln\biggl(\dfrac{(9x-4c)u}{6}+1\biggr)+\dfrac{1}{\dfrac{(9x-4c)u}{6}+1}=\ln(9x-4c)+C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

$\begin{cases}\ln\biggl(-\dfrac{bx+c}{3y}\biggr)-\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{(bx+c)^2-3(bx+c)y-by^2}{y^2}+\dfrac{3}{\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{3y-2(bx+c)}{\sqrt{4b+9}~y}=\ln(bx+c)+C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\\ln\dfrac{9x-4c}{12y}-\ln\dfrac{9x+6y-4c}{6y}+\dfrac{6y}{9x+6y-4c}=\ln(9x-4c)+C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

$\begin{cases}\dfrac{\ln((bx+c)^2-3(bx+c)y-by^2)}{2}-\dfrac{3}{\sqrt{4b+9}}\tanh^{-1}\dfrac{3y-2(bx+c)}{\sqrt{4b+9}~y}=C&\text{when}~b\neq-\dfrac{9}{4}\\\ln(9x+6y-4c)-\dfrac{6y}{9x+6y-4c}=C&\text{when}~b=-\dfrac{9}{4}\end{cases}$

Caso $5$: $a\neq0$

A continuación, $y(y'+3)=ax^2+bx+c$

$y\dfrac{dy}{dx}+3y=ax^2+bx+c$

$y\dfrac{dy}{dx}=-3y+ax^2+bx+c$

Esto pertenece a un Abel ecuación de la segunda clase.

De hecho, todos los Abel la ecuación de la segunda clase puede ser transformado en Abel ecuación de la primera clase.

Deje $y=\dfrac{1}{u}$,

A continuación, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx}$

$\therefore-\dfrac{1}{u^3}\dfrac{du}{dx}=-\dfrac{3}{u}+ax^2+bx+c$

$\dfrac{du}{dx}=-(ax^2+bx+c)u^3+3u^2$

Comprobar si esta ODA satisfacer el caso especial en http://www.ae.illinois.edu/lndvl/Publications/2002_IJND.pdf#page=5:

$\biggl(\dfrac{-ax^2-bx-c}{3}\biggr)'=\dfrac{-2ax-b}{3}\neq\lambda$

$\therefore$ no satisfacer el caso especial en http://www.ae.illinois.edu/lndvl/Publications/2002_IJND.pdf#page=5

Dado que el coeficiente de u de esta ODA es de 0,

$\therefore$ también no satisfacer el caso especial en http://www.hindawi.com/journals/ijde/2010/436860/#EEq2.3

Por favor, siga el método en http://www.hindawi.com/journals/ijmms/2011/387429/#sec2