Me gustaría resolver la ecuación diferencial dada por $$ y' = \sqrt{|y|},\qquad y(0) = 0 $ $ esto es equivalente, si suponemos que $y > 0$, $$ \frac{dy}{dt} = y^{1/2} \text{ if and only if } y^{-1/2} dy = dt $ $ por lo que debe ser: $$ 2 y^{1/2} = t + c \implies y = \frac{(t+c)^2}{4} $ $ como prueba he comprobado que %#% $ #% sin embargo, me gustaría saber cómo obtener otras soluciones, como: y_{\alpha,\beta}(t) $$ =\begin{cases} (t-\alpha)^2 / 4 & t < \alpha,\\ 0 & \alpha \leq t \leq \beta,\\ (t-\beta)^2/4 & t > \beta \end{casos} $$ para cualquier $$ y' = \frac{t+c}{2} = \sqrt{|y|} = \sqrt{y} $, los números reales. Es decir, no sé cómo descubriría cada solución a esta ecuación diferencial. Gracias de antemano.
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chaiwalla
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$\newcommand{\Strut}{\vphantom{(}}$Cuando se realiza la separación de variables, no se puede re-escribir su ODA como $y^{-1/2}\, dy = dt$ en un barrio de $t_{0}$ si $y(t_{0}) = 0$.
Lo que usted podría hacer en su lugar es:
Observar que $y(t) = 0$ es una solución en un intervalo arbitrario.
Si $y(t_{0}) = y_{0} > 0$, variables independientes en un barrio de $t_{0}$ que $y$ es positivo: $$ t - t_{0} = \int_{t_{0}}^{t} y^{-1/2}\, dy = 2\left(\sqrt{y(t)} - \sqrt{y_{0}\Puntal}\right), $$ por lo $y(t) = \frac{1}{4}\bigl(t - t_{0} + 2\sqrt{y_{0}\Strut}\bigr)^{2}$.
Si $y(t_{0}) = y_{0} < 0$, variables independientes en un barrio de $t_{0}$ que $y$ es negativo: $$ t - t_{0} = \int_{t_{0}}^{t} (-y)^{-1/2}\, dy = -2\left(\sqrt{-y(t)} - \sqrt{-y_{0}\Puntal}\right), $$ por lo $y(t) = -\frac{1}{4}\bigl(t - t_{0} + 2\sqrt{-y_{0}\Strut}\bigr)^{2}$.
Observar que las tres soluciones de $y' = 0$ al $y = 0$ (como lo requiere la educación a distancia), por lo que juntando las fórmulas más linda con intervalos da continuamente diferenciable soluciones.
