¿Wikipedia se equivoca? Convergencia de las diferencias finitas

Question

Actualización: He editado la página de Wikipedia para que ya no aparezca el error.

En el Artículo de Wikipedia para la "diferencia finita" existe la afirmación

Suponiendo que $f$ es continuamente diferenciable, [tenemos] $$ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad \text{as}\,\, h \to 0.\tag{1} $$ La diferencia central proporciona una aproximación más precisa. [Suponiendo que $f$ es $C^2$ ] $$ \frac{f\left(x+\frac12 h \right)- f \left( x - \frac12 h \right)}{h} - f'(x) = O(h^2). \tag{2} $$

Creo que esto es falso. En el caso de (1), considere $\phi(x) = \int_0^x \xi^{1/2} d\xi$ . Es $C^1$ en $[0,\infty)$ pero $$ \frac{\frac{\phi(0+h) - \phi(0)}{h} - \phi'(0)}{h} \quad \text{is unbounded as } h \to 0. $$

Creo que (2) es falsa por razones similares, y creo que un contraejemplo es $\psi(x) = \int_0^x \int_0^\xi \eta^{1/2}d\eta d\xi$ pero no lo he resuelto.

¿Podría alguien decirme cuál es el enunciado correcto de estas cosas, o explicarme por qué estoy equivocado y Wikipedia tiene razón?

Answer 1

Tienes razón. En el primer caso, para

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} - f'(x)$$

sólo tiene un $o(1)$ con destino a. Una función como $f(x) = x\cdot\lvert x\rvert^\alpha$ para $0 < \alpha < 1$ es continuamente diferenciable en todo $\mathbb{R}$ pero en $0$ el cociente de la diferencia converge sólo del orden $\lvert h\rvert^{\alpha}$ a la derivada.

En el segundo caso, la elección de $1 < \alpha < 2$ da una función dos veces continuamente diferenciable con

$$\frac{f\left(x + \tfrac{h}{2}\right) - f\left(x - \tfrac{h}{2}\right)}{h} - f'(x) \in \Theta(h^{\alpha}).$$

El orden de convergencia bajo el supuesto de diferenciabilidad o doble diferenciabilidad es

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} - f'(x) \in o(1)$$

resp.

$$\frac{f\left(x + \tfrac{h}{2}\right) - f\left(x - \tfrac{h}{2}\right)}{h} - f'(x) \in o(h),$$

no hay nada mejor sin supuestos más fuertes.

Answer 2

Siempre hay que acudir al teorema de Taylor, que dice que si $f(x)$ es diferenciable, entonces

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h)$ .

Del mismo modo, si $f$ es $n$ veces diferenciable, tienes:

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\cdots+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n+o(h^n).$$

Ir a la $n=1$ ejemplo, observe que incluso si es no dos veces diferenciable, el teorema sigue siendo válido: el error será $o(h)$ . Por otro lado, este teorema fallará en cualquier punto $x$ donde $f$ no es diferenciable. Se tiene una función $\phi(x)=\int_0^x\xi^{1/2}\mathrm{d}\xi$ . Se sabe que las integrales como ésta son diferenciables (por el teorema fundamental del cálculo). Pero, parece que la estás diferenciando dos veces, y mira lo que pasa: $\phi'(x)=x^{1/2}$ ,

$$\phi''(x)=\frac{1}{2x^{1/2}}.$$

$\phi''(0)$ no existe: la derivada explota ahí, de ahí que veas que tu fracción explota.