Inducción de radicales anidados

Question

¿Cómo puedo mostrar que $\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\cdots}}} $ (% repetido $n$veces) es irracional utilizando inducción?

Conozco el caso base para parece a $n=1$: $\sqrt[2]{2}$ es irracional.

También sé que tengo que suponer que es verdadera para un % arbitrario $n$y demostrar que es verdad $n+1$. Es donde me han pegado.

¿Puedo utilizar el hecho es irracional, que $\sqrt[n]{n}$ $n\geq 2$?

Answer 1

Después de probar que $n^{1/n}$ es irracional, demostrar la siguiente declaración más fuerte por la inducción en $r$:

Si $n_1, n_2, \dots, n_r$ son enteros positivos, $a_1, a_2, \dots, a_r$ son números racionales positivos y $x$ es un número irracional positivo, entonces el número $$\large \sqrt[n_r]{a_r+\sqrt[n_{r-1}]{a_{r-1}+\dots \sqrt[n_1]{a_1 + x}}} $ $ es irracional.