Límite de una secuencia de productos

Question

¿Cómo probar lo siguiente?

$$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\ =\ 0$$

Answer 1

Tomar logaritmos: $$\ln\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}=\sum_{k=1}^n\ln\frac{2k-1}{2k}=\sum_{k=1}^n\ln\Bigl(1-\frac1{2k}\Bigr)$ $ y $ de $$\ln(1-x)=-x+O(x^2)$de % de uso junto con la divergencia de la serie armónica.

Answer 2

Verificar fácilmente que $k\geq 1$, tenemos $\displaystyle \frac{2k-1}{2k}\leq \sqrt{\frac{k}{k+1}}$. Por lo tanto, $$\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\leq \prod_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{k+1}}= \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ $ y hemos terminados.

Answer 3

Multiplicar numerador y denominador por $(2n)!!$, reescribir el denominador como $n! 2^n$ y utilizar la fórmula de Stirling para el factorial y el límite superior. ¿Qué obtienes?

Answer 4

$$\prod_{n=1}^N \frac{2n-1}{2n} = \exp\left\{ \log \left( \prod_{n=1}^N \frac{2n-1}{2n} \right)\right\} = \exp\left\{ \sum_{n=1}^N \log \left(\frac{2n-1}{2n} \right)\right\}$$

$$ = \exp\left\{ \sum_{n=1}^N \log(2n-1) - \log(2n)\right\} = \exp\left\{ \sum_{n=1}^N \log(2n)+\log(1-\frac{1}{2n}) - \log(2n)\right\} = \exp\left\{ \sum_{n=1}^N \log(1-\frac{1}{2n})\right\} $$

El registro se aproxima a grande $n$ $\log(1-\frac{1}{2n}) \approx \frac{-1}{2n}$. De hecho, manteniendo los términos de orden superiores sólo hace más negativa que la suma en el exponente diverge a infinito negativo (igual que la secuencia armónica).

Por lo tanto

$$\prod_{n=1}^\infty \frac{2n-1}{2n} = \exp( -\infty ) = 0$$