Supongamos que $1\le p < r < q < \infty$. Demostrar que $L^p\cap L^q \subset L^r$.

Question

Supongamos $1\le p < r < q < \infty$. Demostrar que $L^p\cap L^q \subset L^r$.

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Así que supongamos $f\in L^p\cap L^q$. A continuación, tanto en $\int |f|^p d\mu$ $\int|f|^q d\mu$ existen. Para cada una de las $x$ en el dominio de $f$, $|f(x)|^r$ se entre $|f(x)|^p$$|f(x)|^q$.

Por lo $|f|^r\le\max(|f|^p,|f|^q)=\frac12({|f|^p+|f|^q+||f|^p-|f|^q|})$.

El lado derecho es integrable, y desde $|f|^r$ está acotada arriba por una función integrable, también es integrable. Por lo $f\in L^r$.

Mi argumento es correcto?

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En realidad esto es cierto cuando se $q=\infty$? En este caso, tenemos $1\le p < r < \infty$. Es $L^p\cap L^{\infty}$ necesariamente un subconjunto de a $L^r$? Por qué?

Por favor, muestre que si $f\in L^p\cap L^{\infty}$, $||f||_r \le ||f|_p^{p/r} ||f||_{\infty}^{1-p/r}$

EDIT: Gracias por el enlace a la primera parte de mi pregunta. Todavía estoy bastante interesado en el caso de $q = \infty$.

Answer 1

De Lyapunov de la desigualdad tenemos $$ \Vert f\Vert_r\leq\Vert f\Vert_p^{\frac{p}{r}\frac{r-q}{p-q}}\Vert f\Vert_q^{\frac{p}{r}\frac{p-r}{p-q}}\etiqueta{1} $$ Así hemos demostrado que la $L_p\cap L_q\subset L_r$. Para manejar el caso $q=\infty$ nota de que $$ \Vert f\Vert_r =\left(\int_X |f(x)|^{r-p}|f(x)|^p dx\right)^{1/r} \leq\left(\int_X |f(x)|^p dx\right)^{1/r}\left(\operatorname{esssup}\limits_{x\in X}|f(x)|^{r-p}\right)^{1/r}\\ =\Vert f\Vert_p^{p/r}\Vert f\Vert_\infty^{1-p/r} $$ Lo que muestra que $L_p\cap L_\infty\subset L_r$.