Cubierta finita es compacto Hausdorff espacio base iff es

Question

Estoy necesitando la solución o la punta de esta pregunta. Gracias.

Que $ p: \widetilde X \to X $ sea un espacio de cubierta con $ p^{-1}(x) $ finito y no vacío para todos los $ x \in X$. Mostrar que $ \widetilde X$ es compacto Hausdorff iff $ X$ es Hausdorff compacto.

Answer 1

(Dando consejos por ahora; pero si no está claro después de haber pensado un poco, estoy feliz de expandir en más detalle si lo desea.)

Para Hausdorffness: dados dos puntos distintos $x, y \in \tilde{X}$, consideran que sus imágenes $p(x)$, $p(y)$. Son estos también distinto? Si es así, entonces usted puede separar con abrir establece en $X$; el uso de estos para la construcción de abrir establece la separación de $x$$y$$\tilde{X}$. De lo contrario, si $p(x) = p(y)$, entonces usted puede utilizar el recubrimiento de la condición de espacio para encontrar barrios de la separación de $x$$y$.

Por compacidad: supongamos dado un abierto que cubre $\mathcal{U}$$\tilde{X}$. Llame a un conjunto abierto $W \subseteq X$ "$\mathcal{U}$-bueno" si $p^{-1}(W)$ es un discontinuo de la unión de homeomórficos copias de $W$ (como en la definición de cubrir el espacio), y por otra parte, cada una de estas copias disjuntas es un subconjunto de algunos $U \in \mathcal{U}$. Ahora, muestran que el $\mathcal{U}$-buena conjuntos forman una cubierta abierta de a $X$. Así, algunas conjunto finito de $\mathcal{U}$-buena conjuntos cubre $X$; de estos, de construir un finito subcover de $U$.

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He encontrado ambas utilizando el principio de "pensar en cómo se podría hacer uso de la hipótesis". Para el segundo, por ejemplo, empezamos con una cubierta abierta de a $\tilde{X}$, y quieren un subcover. Sabemos que vamos a necesitar de alguna manera el uso de la compacidad de $X$, por lo que podemos esperar de la prueba, bien puede ser algo como: de $U$, construir una cubierta abierta de a $X$; a partir de un número finito de subcover de eso, construir una finito subcover de $\tilde{X}$. Con la primera portada de $X$ he intentado (las imágenes de los juegos en $\mathcal{U}$), no pude conseguir el segundo paso para el trabajo, así que pensé: ¿cómo puedo perfeccionar la construcción, para que a partir de lo finito de la cubierta de $X$, puedo volver a un número finito subcover de $\mathcal{U}$?

Answer 2

Como se había indicio de la respuesta anterior, espero que te haya completado la solución. Aquí quiero dar la idea de la prueba de esta afirmación desde otro punto de vista que no requiere abrir la cubierta de $ \widetilde{X} $.(Te voy a mostrar la parte más difícil solamente)

Todos tenemos que tener en cuenta es que un compacto Hausdorff espacio es regular. Así que la base del espacio de $\ X $ es regular. Ahora la primera cubierta de la $\ X $ con uniformemente cubierto barrios {$\ U_{\alpha} $} . El uso de la regularidad condición de que podemos lograr un refinamiento de este cubre - dice { $\ V_{\beta} $ } tales que el cierre de $\ V_{\beta} $ está dentro de una $\ U_{\alpha} $.

Por eso, $\ p^{-1} (\overline{V_{\beta}})$ es distinto de la unión de un número finito de conjuntos cerrados. (Usando el hecho de fibras son finitos y $ U_{\alpha} $ es uniformemente cubierto de vecindad). Ahora $\ \overline{V_{\beta}} $ es tan compacto es su preimagen debido a que la cobertura de mapa local homeomorphism. Ahora obtener un número finito de subcover de $\ X$ de la colección {$\ V_{\beta} $} y por lo tanto preimagen de la correspondiente $\ \overline{V_{\beta}} $ 's cubrirá $ \widetilde{X} $ . Así, obtenemos $ \widetilde{X} $ es la unión de un número finito de conjuntos compactos que implica $ \widetilde{X} $ es compacto.