¿Las hipótesis nula y alternativa tienen que ser exhaustivas o no?

Question

He visto muchas veces afirmaciones de que tienen que ser exhaustivos (los ejemplos en tales libros siempre se establecieron de tal manera, que eran de hecho), por otro lado también vi muchas veces libros que afirman que deben ser exclusivos (por ejemplo $\mathrm{H}_{0}$ como $\mu_1=\mu_2$ y $\mathrm{H}_{1}$ como $\mu_1>\mu_2$ ) sin aclarar la cuestión exhaustiva. Sólo antes de teclear esta pregunta encontré una declaración algo más fuerte en el Página de Wikipedia -- "La alternativa no tiene por qué ser la negación lógica de la hipótesis nula".

Podría alguien más experimentado explicar cuál es la verdad, y le agradecería que arrojara algo de luz sobre las razones (¿históricas?) de tal diferencia (los libros fueron escritos por estadísticos, después de todo, es decir, científicos, no filósofos).

Answer 1

La razón principal por la que se exige que las hipótesis sean exhaustivas es el problema de lo que ocurre si el valor verdadero del parámetro se encuentra en la región que no está cubierta ni por la hipótesis nula ni por la alternativa. Entonces, la prueba en el $\alpha %$ El nivel de confianza carece de sentido o, lo que es peor, su prueba estará sesgada a favor de la nula, por ejemplo, una prueba unilateral de la forma $\theta = 0$ contra. $\theta > 0$ cuando en realidad $\theta < 0$ .

Un ejemplo: una prueba unilateral para $\mu = 0$ vs $\mu > 0$ a partir de una distribución normal con una $\sigma = 1$ y verdadero $\mu = -0.1$ . Con un tamaño de muestra de 100, una prueba del 95% rechazaría si $\bar{x} > 0.1645$ pero 0,1645 es en realidad 2,645 desviaciones estándar por encima de la media real, lo que lleva a un nivel de prueba real de aproximadamente el 99,6%.

Además, descartas la posibilidad de sorprenderte y aprender algo interesante.

Sin embargo, también se puede considerar que el espacio de los parámetros es un subconjunto de lo que normalmente se considera el espacio de los parámetros, por ejemplo, la media de una distribución normal se considera a menudo que se encuentra en algún lugar de la línea real, pero si hacemos una prueba unilateral, estamos, en efecto, definiendo el espacio de los parámetros como la parte de la línea cubierta por la nula y la alternativa.

Answer 2

En principio, no hay razón para que las hipótesis sean exhaustivas. Si la prueba es sobre un parámetro $\theta$ con $H_0$ siendo la restricción $\theta\in\Theta_0$ la alternativa $H_a$ puede ser de cualquier forma $\theta\in\Theta_a$ siempre y cuando $$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$$

Un ejemplo de por qué la exhaustividad no tiene mucho sentido es cuando se comparan dos familias de modelos, $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ frente a $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$ . En tal caso, la exhaustividad es imposible, ya que la alternativa tendría que cubrir todos los modelos de probabilidad posibles.

Answer 3

La alternativa no tiene por qué ser exhaustiva ni la hipótesis nula debe significar necesariamente algo distinto de lo que afirma. Por ejemplo, considere tres observaciones independientes $X_i\sim N(\mu_i,1)$ , $i=1,2,3$ , donde $(\mu_1,\mu_2,\mu_3)\in\mathbb R^3$ y el problema de las pruebas $H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$ vs $H_1:\mu_1\leqslant\mu_2\leqslant\mu_3$ con al menos una desigualdad estricta. Este es un problema básico de la inferencia restringida por orden, véase, por ejemplo, Robertson, Wright y Dykstra (1988, Order Restricted Statistical Inference) o Silvapulle y Sen (2005, Constrained Statistical Inference: Inequality, Order, and Shape Restrictions). En este problema la hipótesis nula no significa otra cosa que las tres distribuciones coinciden mientras que las dos hipótesis no son exhaustivas.