Pruebas para topología en $\mathbb R^2$

Question

Quiero mostrar que $\tau=\{G_k=(x,y):k\in \mathbb R\}\cup \{\mathbb{R}^2, \emptyset\}$, donde $\forall k\in \mathbb R, \;\; G_k=\{(x,y):x>y+k\}$ es una topología en $\mathbb R^2$.

Mi intento: por definición $\mathbb R^2,\emptyset\in \tau$. Que $\{G_\alpha:\alpha\in \Lambda\subset \mathbb R\}$ ser una familia de subconjuntos de $\mathbb R^2$ (para evitar el caso trivial Supóngase que $\mathbb R^2$ no existe). Si $\sup \Lambda=k\in \mathbb R$, entonces el $\bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda}G_\alpha=G_k$ y $\sup \Lambda=\infty$, entonces el $\bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda}G_\alpha=\mathbb R^2$.

Si tenemos en cuenta $G_k,G_l\in \tau$, entonces el $G_k\cap G_l=G_i$, donde $i=\min\{k,l\}$.

Por favor decirme si estoy en lo cierto o mostrar el defecto en la prueba. Gracias de antemano.

Answer 1

Que son aproximadamente el derecho de la unión.Todo lo que tienes que hacer es probar lo que dices. En primer lugar,vamos a considerar un conjunto acotado Λ en $\Bbb R$.

Entonces existe una estrictamente creciente secuencia $({z_n})\subset Λ$:$z_n-> supΛ$ .<=> para cada ε>0 existe un $k(ε)\in\Bbb N$:|$z_n$ - supΛ|<ε para cada $n>=k$. A continuación, para cada $ε>0$ existe un $k(ε)\in \Bbb N$:$G_{z_n}$=$G_{supΛ-ε}$ para cada $n>=k$. (1)

También tenemos que $G_a < G_b \iff a < b$. Así $G_{z_n}$ < $G_{z_{n+1}}$.(2)

A partir de (1),(2) tenemos que $\bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda}G_\alpha=G_(supΛ-ε)$ $ε \in \Bbb R$ cada vez. Por lo tanto $\bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda}G_\alpha\in T$.

Mismo hacemos para el caso trivial de que Λ es no acotada y la unión es $\Bbb R^2$.