¿Es malo llamar a todos los operadores de matemáticas, funcionales y otras cosas que tener entrada y salida sólo "funciona"?

Question

Yo soy más de un programador que un matemático, por lo que en mi mente una función puede tomar cualquier tipo de entrada y puede producir cualquier tipo de salida. Por ejemplo veo el operador derivado $\frac{d}{dx}$ como una función que toma una función como argumento y devuelve una función. ¿Esto está mal en matemáticas?

Answer 1

Las únicas 2 cosas que usted necesita estar seguro es de que para cada entrada sólo hay una posible salida. Usted no puede tener "$f(x) = y$ tal que $y^2 = x$" debido a que ambos $\sqrt(x)$ $-\sqrt(x)$ son aceptables salida.

y que la salida para una entrada es consistente: $f(x) = $ un número al azar: no es una función.

y, debo decir, una función debe ser bien definido. No importa cómo la entrada se expresa, su método de elaboración es claro y consistente. $f(a/b) = a + b$ no está bien definida la función en$f(1/2) = 3 \ne f(2/4) = 6$$f(\pi) = ??????$.

Pero a decir $d/dx$ es una función que se asigna a $f$ $f'$es absolutamente correcto. De hecho, consideramos el conjunto de todas las funciones reales, a ser un espacio topológico y nosotros hacemos el estudio de las funciones que se asignan funciones a las funciones. Que no se considera extraño o raro o incorrecta.

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Las definiciones técnicas es $f:S \rightarrow T$ es una función que se asigna a los elementos de un conjunto S de elementos de un conjunto T si se trata de una colección de pares ordenados $F = ${$(a, b) | a \in S, b \in T$} así que la "a" términos son únicos; es decir. Si (a, b) y (c, d) $\in F$$b \ne d$$a \ne c$.

No hay ninguna limitación alguna de que los conjuntos de $S$$T$. Pueden ser cualquier cosa, incluyendo conjuntos de funciones, conjuntos de conjuntos, conjuntos de reglas o procesos, programación de puntos, lo que sea.

Answer 2

Esto es perfectamente razonable ver a adoptar, especialmente cuando uno está trabajando sólo con la derivada de las funciones de $\mathbb R\rightarrow\mathbb R$. Por el motivo que sea, uno más a menudo se ve la letra $D$ se refieren a la diferenciación de operador (que básicamente es otra palabra para la función), que es exactamente la función que describe - se toma en una función derivable y salidas de la derivada. Sin duda, uno puede expresar la diferenciación de las reglas con esta notación: $$D(f+g)=Df+Dg$$ $$D(f\cdot g)=(Df)\cdot g + f\cdot (Dg)$$ $$D(f\circ g)=(Df)\circ g \cdot Dg$$ y realmente, la mayoría de cualquier elemental noción sobre el cálculo diferencial se puede expresar perfectamente bien lo que nos dice que no vamos a ejecutar en problemas solo por el tratamiento de la derivada como una función operativo en funciones. Esta idea en realidad afirma a sí misma como muy importante en ciertas ramas de análisis, donde el tratamiento de la $D$ como lineal mapa nos permite el uso de álgebra lineal para la dirección de la teoría de ecuaciones diferenciales. Vale la pena señalar que no sería correcto llamar a este simplemente una "función" en lugar de un "operador", pero el último es un término más específico (refiriéndose a las funciones entre los módulos o espacios vectoriales).

En la escuela primaria contextos, uno podría evitar varios errores, al considerar su noción, por ejemplo, nos obliga a distinguir la igualdad de funciones y la igualdad de valores, por lo que no vamos a mirar una ecuación como $x^2=1$ y diferenciar ambos lados para obtener $2x=0$. Este tipo de ambigüedad se presenta con bastante frecuencia, ya que estamos usando letras como $x$ tanto para denotar el argumento de una función, y para denotar variables, pero pensando en cosas como la derivada como operativo en funciones en gran medida nos salva de esto.

Vale la pena señalar que no son formas alternativas de ver la notación $\frac{d}{dx}$. Por ejemplo, uno puede utilizar las formas diferenciales, donde tratamos $d$ a sí mismo como un operador de escribir frases como: $$df(x)=f'(x)\,dx$$ que se ve mucho como la notación $$\frac{d}{dx}f(x)=f'(x).$$ Este punto de vista tiende a cubrir el cálculo diferencial igual de bien, sino que se extienden más cuidadosamente al cálculo integral. Por ejemplo, hacen que sea fácil para expresar reglas de sustitución, se puede destacar que $$\int_{x=0}^{x=1}dx=1$$ pero sustituyendo $2u=x$, podemos diferenciar a conseguir $2du =dx$ en esta notación y, a continuación, en realidad sustituto para $dx$ $$\int_{x=0}^{x=1}2\,du=\int_{u=0}^{u=1/2}2\,du=1$$ mientras que el análogo declaración donde sólo tenemos una integral operador que actúe en funciones es más difícil de trabajar.

Answer 3

En mi opinión, esto es perfectamente correcto, y hasta matemáticos utilizan esta perspectiva a veces: por ejemplo, en algunos contextos se ve $\frac{d}{dx}$ como una función de tipo

$$\mathbb{R}[x] \leftarrow \mathbb{R}[x],$$

donde $\mathbb{R}[x]$ se compone de todas formales polinomios en la variable $x$ con coeficientes en $\mathbb{R}$.