¿Es lógica infinitary $\mathcal{L}_{\infty\omega}$ una lógica abstracta?

Question

Infinitary lógicas $\mathcal{L}_{\infty\omega}$ es una extensión de primer orden de la lógica tal que

• $\bigvee\Phi \in \mathcal{L}_{\infty\omega}$ si $\Phi$ es un conjunto de $\mathcal{L}_{\infty\omega}$frases
• $\bigwedge\Phi \in \mathcal{L}_{\infty\omega}$ si $\Phi$ es un conjunto de $\mathcal{L}_{\infty\omega}$frases

con la obvia la semántica de un infinito disyunción o conjunción.

Desde otro que el de "conjunto" no hay ninguna restricción, infinitary lógica es muy potente. Tenga en cuenta, que cada Máquina de Turing $\mathfrak{T}$ es identificado por un primer orden de la frase $\varphi_{\mathfrak T}$.

Entonces

$$ \bigvee_{\mathfrak T \in H} \varphi_{\mathfrak T},$$

donde $H$ es la de Detener el Problema, es indecidible.

Ahora tengo esta definición de la lógica abstracta:

Una lógica abstracta es un par $(\mathcal{L},\models_{\mathcal{L}})$ consiste en un conjunto de $\mathcal{L}$-oraciones para cada firma $\tau$ y una asignación que se le asocia una propiedad $\mathcal P_\varphi$ de $\tau$-estructuras con cada una de las $\varphi \in \mathcal{L}[\tau]$.

Mi pregunta es: $\mathcal{L}_{\infty\omega}$ es una lógica abstracta?

Yo creo que sí, puesto que la $\mathcal{L}[\tau]$ es un conjunto (a la derecha?) y no propiedades de $\mathcal{P}_\varphi$ (no necessarly decidable) para cada una de las $\varphi \in \mathcal{L}[\tau]$.

Me siento realmente en un terreno inestable con esta materia. Es correcto? Alguna idea?

Answer 1

Por su definición, $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$ es no una lógica abstracta, porque hay una clase adecuada de $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$frases. De hecho, $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$ contiene de primer orden, así que hay al menos $\aleph_0$-muchos de los $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$frases. Digamos que tengo una colección de $\kappa$ muchas $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$ frases, $\{\phi_\alpha\mid \alpha\in\kappa\}$. A continuación, para cualquier subconjunto $X\subseteq \kappa$, puedo formar la frase $\bigwedge_{\alpha\in X} \phi_\alpha \land \bigwedge_{\alpha\notin X}\lnot\phi_\alpha$, así que tengo una colección de $2^\kappa$ muchas $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$frases. La iteración y tomando los sindicatos en el límite de las etapas, me pueden formar colecciones de $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$frases de tamaños va todo el camino hasta el beth jerarquía. Hay muchas frases para la clase de frases para ser un conjunto.

Vale la pena señalar, sin embargo, que no todas las fuentes requieren de la colección de frases para ser un conjunto. Uno de los libros canónicos sobre este tema es el "Modelo Teórico de la Lógica", editado por Barwise y Feferman, y que escribir "... de tal manera que $\mathcal{L}[\tau]$ es una clase (la clase de $\mathcal{L}$frases de vocabulario $\tau$)..." (en realidad, supongo que "ellos" aquí es Ebbinghaus, quien escribió el Capítulo II).

Usted puede encontrar su definición (Definición 1.1.1), y en el hecho de que el libro entero sobre el Proyecto de Euclides. Wikipedia da una referencia a Chang y Keisler, que también está de acuerdo que una lógica abstracta puede tener una clase de oraciones.

Si permitimos que una clase adecuada de oraciones, $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$ es una lógica abstracta.